Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где ((Yx)) — среднеквадратичное значение функции распределения на волновом фронте (1.3.13). Из одночленных формул Грина (1.1.13) и (1.1.14) при r0 = О получим выражения для звукового давления в фокусе:
р(,с) = (kp0/2n) h (- (Те) [2(с)//(с)] <Y?>>,
p<f» = VkJbI Peh (- <Тд) [2<*//(ц)] <*!?>>,
где (Y(K)) дает формула (1.3.42). Подставляя в эти выражения ро из (2) и разделив их обе части на Po» получим коэффициенты усиления, выраженные через Q и 2:
4c) = Aj/^
2я2/2 Po *
(Ц)_ і / *Ро<*?2(Ц)Х(Ц)(іО Po •
Величину x(x)((a) дает формула (1.3.43). Значения Kp0 максимальны при Y(H) = 1, o1n = п. Тогда 2(с) 4я/2, 2<*> = 2я/, Х(Н)(Ц) = 1 и
Apmax —-f0V —їг~» Apmax - — •
Подставляя/Срх) и /СртахВ определение (1), получим выражения для факторов фокусировки давления цилиндрического и сферического волновых фронтов:
;<с, = х<с)(R)sin(ето/2), № = (V)VZjZ. (3)
160 КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ. ФАКТОРЫ ФОКУСИРОВКИ [ГЛ. 4
Таким образом, хР зависит только от р, и ©т. Из (3) в частных случаях следуют результаты, полученные Розенбергом для цилиндрических [13] и сферических [34] сходящихся фронтов.
Точно такой же результат получается для радиальной компоненты колебательной скорости.
SCp —Хуг
ю-
0?
0,2 0
/// \J
t) // і \ "" \ \ \ > \
\ \\
во
120 180
Если в (3) перейти к средним и среднеквадратичным значениям функции распределения амплитуды на волновом фронте, то получим
Tip =
1 11/2 *
о j
Если ((d) = 1, то
Xp|v-i - (rt/(Dm)*sin2*+i ((om/2);
ЄСЛИ ^((О) = COS(o, то
~ ,__(3^comfv3sin2<^>u)m_
Xp iv-сов« - ^и+З/г^ +(_ !)2^^033(2^1)^24^^11/2-
На рис. 4.2, а приведены зависимости хР от (от при равномерном [^ =¦ 1, X == —1/2 (кривая I)9 х — О
§ 4 2]
ФАКТОР ФОКУСИРОВКИ
161
(кривая 2)] и косинусоидальном [V = cos о, х = —1/2 (кривая <?), х = О (кривая 4)] распределении амплитуды.
4.2.3. Фактор фокусировки скорости х?к) вычисляется точно так же, как фактор фокусировки звукового давления, но значения получают при V = cos о и <от = я; при этом х^ пропорционально средневзвешенному значению функции распределения на волновом фронте (а не среднему, как для Хр°) :
<^coiW)>^^JK-sin^1. (4)
KV «1F(K) Н»
Это — фактор фокусировки для аксиальной компоненты колебательной скорости, имеющей в фокусе максимальное значение. Точно так же, как для фактора фокусировки звукового давления, из (4), вычисляя средние и средневзвешенные значения функции 1P(G)), найдем
Й?=(т)"
_тх
2
b<H)(»»VD«-(«»v'0««^(»»V"0«-,/^
1/2
Если V (о) = cos <й, то
A? k-- - (?" U + ц («.„)]- [i^V-P-.
если V (Со) = 1, TO
COOI _ /ЗяV* _1_ < SJn2^)(P7n
Нарис. 4.2, б приведены зависимости х«(й)го), аналогичные зависимостям на рис. 4.1, a: V = I, х =—1/2 (кривая I)9 х = 0 (кривая 2); V = cos©: х = —1/2 (кривая <?), х = 0 (кривая 4). При сйт = л; волновой фронт замкнут. В этом случае х„*(я) = 1 при оптимальной функции распределения амплитуды, т. е. когда V = I для давления и V = cos ю для скорости. При
162 КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ. ФАКТОРЫ ФОКУСИРОВКИ 1ГЛ. 4
этом, когда Xp(cDm) достигает максимальной величины, х„(о)т) = 0, и наоборот.
Для радиальной компоненты скорости x„r = хр (см. рис. 4.1, а).
§ 4.3. Эффективный угол раскрытия фронта
4.3.1. Эффективный угол и эквивалентные фронты.
Установим связь между средним значением функции распределения амплитуды на волновом фронте, коэффициентом усиления этого фронта, размером окрестности фокуса в фокальной плоскости и распределением звукового давления в фокальном пятне и фокальной полосе. Это позволит существенно упростить исследование полей сходящихся волновых фронтов в окрестности фокуса и при нахождении поля в фокальной плоскости — полностью исключить непосредственное вычисление дифракционных интегралов.
Рассмотрим сходящийся волновой фронт с функцией распределения 1F(Z) при условии ют<1; тогда / = = (co/(ow)2(x+1), х =—1/2 для цилиндрического И X = O для сферического фронта. Среднее значение функции распределения, согласно (1.3.45), равно (^(4)(/)) = ?. Введем однородный волновой фронт с эффективным углом раскрытия ©Й\ при котором площадь под его функцией распределения W(t) = 1 будет равна площади S(H).
дей /*-l=S(x) получим эффективный угол раскрытия волнового фронта:
Таким образом, эффективный угол раскрытия сходящегося волнового фронта мы получили фактически из условия близости (—1)-го порядка линий, описываемых функциями W = I и W = W^). Эффективный угол — это угол раскрытия однородного фронта, у которого площадь под функцией распределения равна площади под функцией распределения заданного неоднородного фронта. Из формул (1) и (1 3.47) следует, что
<7<om = [Г (х + 2) Г (її + 1)/Г (X + |i + 2)Г(К-™. (2)
Тогда 4> =(co^>/cow)2<^
и из условия равенства площа-
(і)
§4.3]
ЭФФЕКТИВНЫЙ УГОЛ РАСКРЫТИЯ ФРОНТА
163
Введем понятие эквивалентности волновых фронтов. Однотипные волновые фронты назовем эквивалентными, если у них одинаковые фокусные расстояния, длины волн и эффективные углы. У эквивалентных фронтов могут различаться только функции распределения амплитуды на волновом фронте и геометрические углы раскрытия фронтов. Эквивалентные волновые фронты обладают интересными свойствами. Они имеют: (I) одинаковые коэффициенты усиления; (II) близкие размеры окрестности фокуса в фокальной плоскости; (III) близкие распределения поля в окрестности фокуса в главных направлениях. Благодаря этим свойствам мы назвали фронты эквивалентными.
