Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Po
X (1— /sin2wro)4d/ (15)
іЗб
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
(ГЛ. 3
? = h (р) ?>(*) [4 sin* (?] J Пі (о/) Тл [со;(/)] X
о
X (l--/sin2^)*d/. (16)
Так как
Лн(шКГ) = 0Р1[~^1/4], (17)
h И) ^ [к І Iі ,0f] = (I)(^+U+1, tvt)9 (18)
то вместо (15) и (1С) можно написать более общее выражение:
PwlPo = Ь(рп)Он(22пйпу"А(и)9 (19)
в котором А (и), qn и Dm определены соответственно выражениями (3), (5) и (11). Формула (3) доказана.
Из (19) получим выражения для распределения поля в главных направлениях сходящегося волнового фронта:
~ —гчиГ+і)—h (fm ~ "<*>> х
х J ^ J(x + 1)<» .... (и + I)W; 4»-1 (ш)2~Л/J х
X ТА> (01 (1 ~ qj^^'dt. (20)
3.5.2. Фронты с нулевой амплитудой на краю. Рассмотрим сходящийся волновой фронт с малым углом раскрытия o)m < 1 и функцией распределения
ч'Л®(01 = 0-0'. (21)
которая обращается в нуль при максимальном угле раскрытия фронта (при /=1). Докажем, что если sin<om«u)m и r>—1, то для функции А(и), определяемой выражением (3), справедливо следующее
§ 3.5]
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ДЕБАЯ
137
представление:
Л (и) = В (х 4- 1, г+[l) X
в котором В(х+1, г+1) —бэта-функция: і
В(х+ 1, г I 1) = \t*(l-l)rdl (при х>-I1 г>-1).
о
(23)
Доказательство. Из условия sin cow » u>m, из формул (5) и (4) следует, что 0п(юда)« (©«,/2")2 и при малых сот
^(0»Ta[CO(Oj = (I-//. (24)
Подставив (24) в^(3) и воспользовавшись преобразованием Римана — Лиувилля, получим (22). Это выражение справедливо при г > —1, х > —1, п ^ 1.
При помощи формул (22) и (20) найдем общее выражение для распределения поля в главных направлениях фокальной области при малых углах раскрытия сходящегося волнового фронта:
^-1МЛ [<Ж ¦•<"+"'"" «*-'««>'-]. (25)
В этом выражении pf — поле в фокусе (при р = и=0):
P/ = A,h(-0T(x))[^ Г(х+У jb(X+ 1, г+ 1). (26)
3.5.3. Фронты с ненулевой амплитудой на краю. На
практике часто встречаются фокусирующие системы, у которых амплитуда распределена по волновому фронту неравномерно и не обращается в нуль на краю фронта. В этом случае функцию распределения удобно аппрокси мировать выражением (1.3.37):
V4©(0] = 0(27)
138
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
в котором r>—1, O^^n^l. Однако интеграл (3) с функцией распределения (27) вычислить не удается даже при O)n, < 1. Поэтому функцию (27) заменим другой функцией, которая позволит вычислить интеграл (3) и обеспечит соблюдение условий аппроксимации (1.3.33) и (1.3.34). Мы видели выше, что интеграл (3) вычисляется при го1Л < 1 и функции распределения (21), которую представим в виде
VxMOl=O-O11. (28)
Условие (1.3.33) для функций (27) и (28) выполняется, а в соответствии с условием (1.3.34) потребуем равенства интегралов
і і
j> (1 - qt)rdt = f Г (1 - ff dt. (29)
о о
Из (29) определяется степень неравномерности амплитуды на волновом фронте \х. Из (25), сравнивая (24) и (28), сразу получим
ь(р»)л[("д,»*;-2-(',+,,">"!4'"'('")"]. «зо»
причем Pf имеет вид (26). Таким образом, используя теорию аппроксимации функций распределения амплитуды на волновом фронте, мы довольно просто получили формулу (30), дающую распределение поля в главных направлениях в фокальной области как цилиндрических, так и сферических волновых фронтов, у которых функция распределения амплитуды не обращается в нуль на краю фронта. Значительно сложнее вычислить погрешность, обусловленную заменой функции (27) на функцию (28) при условии (29). Можно показать, что если А (и)—интеграл (3) при о)т<1 и Va[O)(O] из (27), a Ax (и) — тот же интеграл при g)w< 1 и Va[Cd(O] из (28) и если \л определяется из уравнения (29), то модуль разности относительных значений функций А (и) и Ax(U) не превосходит бтах:
§ 3.5]
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ДЕБАЯ
139
где
г
I, С*. V) = В, (х, у)/В (х, у), b2 (х, у), = J t*-\l - if-1 dt
о
— неполная бэта-функция, a t = z—корень уравнения
(1-0'= (1-<70г. (32)
Для того чтобы оценить погрешность приближенного метода вычисления интеграла (3), необходимо определить значение р, = |x(r, q) из уравнения (29), в котором г — независимая переменная, a q — параметр. Для цилиндрического волнового фронта и = —1/2, и из (29) следует, что
г (|4 +3/2)- у ^ J*[2' Г+ 1j Г (г + 3/2)'
В этом выражении все функции табулированы, и р, можно определить графически.
Для сферического волнового фронта и = 0, и из уравнения (29) получается общая формула для определения р,:
q{r+l)r+i -I. (34)
Затем необходимо найти корень уравнения (32), которое удобно представить в виде
(l-ty^l-qt, (35)
где a = ii/r9 причем 0^a ^ 1. При трех значениях а: 1/3, 1/2, 2/3 — уравнение (35) сводится к квадратному и его корни t = z находятся элементарно. При других значениях а корни уравнения (35) могут быть найдены приближенными методами. Для сферического волнового фронта, при х = 0, из (31) получается более простое выражение для ма/ксимальной погрешности:
Здесь функция ?(/) определена формулой (27). На рис. 3.12 'приведена зависимость бтах от поля на краю
140
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
г=1, 3—г=3/2, 4—г=2
$тах
фронта х? (1) = (1 — q)r для цилиндрического (кривые 1ц— 4 ц) и сферического (кривые Ic — 4с) волновых фронтов. Кривые / построены для значения г = 1/2, 2 —
