Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
6408
128 сходящиеся волновые фронты Itл. з
валов, при которых А изменяется «а 2я, найдем, во-первых, относительную длину волны Я'//*) и, во-вторых, зависимость Я'Я от 0W, показанную на рис. 3.10. Сплошные линии построены при kf = 100, а прерывистые— при kf = 40. Оказывается, что длина волны изменяется в зависимости от расстояния от фокуса: цифры у кривых показывают номер длины волны,
аУ/
OJt -------
0,2 О
-0,2
-0,6
Ї
-1,0
О 40 80 ПО 160
Рис. 3.10.
отсчитываемой от фокуса, причем положительные значения Я'// соответствуют направлению из фокуса к излучателю, а отрицательные — от излучателя. Из кривых видно, что в фокальной области длина волны Я' вдали от фокуса заметно возрастает по сравнению с Я. Это возрастание тем больше, чем меньше kf, больше Gm и чем бліиже расположена рассматриваемая зона к фокусу. Этот результат отличается от результата в монографии Борна и Вольфа [26], который мы
*) Я' —длина волны в окрестности фокуса.
S 3.4] структура поля в окрестности фокуса 129
представим в виде
Я'А « 8/(7 + cos 2©m). (25)
Согласно выражению (25) %' зависит только от угла раскрытия (дт и одинакова для любых расстояний от фокуса.
Определим теперь !изменение длины волны цилиндрического фрона при kf> 1 и kr0 > 1. При помощи формулы (3.1.9) найдем
A = arclg Vg^sin а sin 0)m + cos ?//2б) "l/^/2cos a sin (om— sin ?/"]/V*o '
где а =i Aj7Z0 — я/4, ? = ?'z0 cos )0)w, k' = 2лД'. Вычислив графически интервалы А/, на которых А изменяются на 2я, получим зависимость от ют, близкую к описываемой формулой (25). Этот результат говорит о близости приближений (25) и (26).
3.4.2А. Распределение фазы по акустической оси. Наиболее детально такие исследования провел Тартаков-ский [12], который впервые показал, что неравномерность амплитуды на волновом фронте может влиять на изменение «фазы на акустической оси в большей степени, чем изменение расстояния от фокуса. Он же дал объяснение этому явлению, обусловленному заметным различием интенсивностей в соседних зонах Френеля при достаточной неравномерности амплитуды на волновом фронте. Ниже мы рассмотрим количественную связь между степенью неравномерности амплитуды \х ла вол-IHOBOM фронте и аномалией фазы Да.
Аномалия фазы — это разность фаз между волновым фронтом в фокальной области Див фокусе kf. Для акустической оси однородного сферического фронта она описывается формулой (2.1Л0):
дв = Д - kf = k (Rm - R0) /2. (27)
Если поле волнового фронта представлено комплексным выражением, то для вычисления аномалии фазы достаточно умножить это выражение на h(— kf) и найти фазу полученного результата:
Д<*> = Im [рьЬ (- */)]/Re [/7ah (- kf)]. (28)
9 И. Н. Каневский
130 СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ ЇГЛ. 3
7Т/ч
о
-7Т/«
-п/2
О Ч в 12 V
Рис. 3.11.
и сферического (с) волновых фронтов. Из кривых видно, что у поля однородного сферического фронта (\х = = 0) всегда существуют нулевые точки по акустической оси, поскольку АдС) изменяется на я, а у цилиндрического нулевые точки отсутствуют, так как Д?ц)
Как будет показано в § 3.5, распределение поля по акустической оси неоднородного фронта описывается выражением
pJ\pA =h(—0„ + ?)Ф(х + 1, х + іі + 2, to),
где а(и) = kf — (х + 1) я/2, Ф — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера, Xi=—1/2 и (х)=ц в цилиндрическом случае, х = 0 и (х) = с в сферическом случае.
При помощи последнего выражения и формулы (28) на рис. 3.11 построены зависимости А(ах)от обобщенной координаты V = ?; sin2(0m/2) при разных значениях •которые указаны у кривых для цилиндрического (ц)
7Г/2
§ 3.4]
СТРУКТУРА ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА
131
изменяется менее чем на л/4. Этот вывод подтверждается распределениями полей по акустической оси. При [і > 0 изменение Д^с) менее я, следовательно, нулевые точки исчезают. Если \i > 1, то изменения Д*н) настолько малы, что осцилляции амплитуды отсутствуют їй поле монотонно спадает при удалении от фокуса. Зависимости Д?° от \х при помощи формулы (1.3.47) связывают аномалию фазы с S(K) - площадью под реальной функцией распределения амплитуды по фронту, определяющей структуру поля в окрестности фокуса.
3.4.2.5. Смещение главного максимума. Экстремальные значения звукового давления определяются из условия dp/dt, = 0, из которого при помощи (3.2.18) найдем трансцендентное уравнение, полученное впервые Тартаковским [16]:
(tgA.)/A. = (l-Co)-f. (29)
Здесь полагаем относительную координату So = zjf заключенной в интервале 0^?0<1. Корень Sm найдем из системы уравнений
IZi(So)= У г (So). ш
yi(So) = ltgAa(So)]/Aa(S0), ^(So) = O-So)-1.
Для малых величин К$ и So, когда справедлива приближенная формула
(tgAa)/Aa^l + A2/3, (31)
из (30) получим результат работы [16]: смещение главного максимума происходит на величину
S«»[1 + a2o/12]-! (32)
в направлении к излучателю. Для случая/Сро/12 > 1 в работе [16] приведена также формула
Sm- 12/(-2. ^ (33)
Определим, когда следует пользоваться результатами графического решения уравнений (30), а когда — 9*
132
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
