Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При помощи графиков легко оценить погрешность в конкретных случаях. Максимальная погрешность в приведенных расчетах не превосходит 10%.
3.5.4. Вычисление полей. Из общих выражений можно получить более простые формулы, описывающие поля в фокальной области в частных случаях.
3.5.4. L Фокальная плоскость. В формуле (30) положим м = 0, и = w ж р(0т, тогда
0,06
0,02
~4с
in К"
0,2
0.0
Рис. 3.12.
Рф/Р/ = Лх+ц+і(ш). (37)
При X + \i = const распределение поля остается неизменным. Это означает, что, изменяя |х, можно получить в фокальной плоскости распределения поля, одинаковые для цилиндрических и сферических волновых фронтов. Такая закономерность справедлива для фронтов с малым углом раскрытия. На рис. 3.13 показан рельеф функции I Av (до) I в зависимости от w и v = = х + |А+1. Из рисунка видно, что с увеличением неравномерности функции распределения, спадающей к краю волнового фронта, главный максимум расширяется, а амплитуда побочных максимумов падает. При увеличении неравномерности функции распределения, возрастающей к краю волнового фронта, картина противоположная: главный максимум сужается, а амплитуда побочных возрастает, npnv——1/2 функция |Л-у2(ш)| = = I cos до I. Этот случай соответствует цилиндрическому сходящемуся волновому фронту, у которого амплитуда возрастает, обращаясь на краях в оо. Легко показать, что распределение поля в фокальной плоскости соответствует распределению, создаваемому двумя синфазно колеблющимися бесконечными линейными вибраторами,
§ 3.5]
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ДЕБАЯ
141
расположенными на краях фронта параллельно осевой плоскости. Аналогичный результат получается для сферического фронта при v = 0. В этом случае |Ло(ш)| = = |/о(доо)|. Это распределение может быть создано
ш
Рис. 3.13.
бесконечно тонким кольцевым излучателем, совпадающим с краем волнового фронта.
3.5.4.2. Акустическая ось. В этом случае в (30) следует положить п = l9u = vtt ?(0^/2, ? = kz0\ тогда
Л/Ы=М—O00 + Е)Ф(*+1, и+И-2, Iv)9 (38)
где О(н) == kf — (х + 1) я/2, Ф — вырожденная гипергео-метричзская функция Куммера, котоірая при некоторых значениях параметров может быть выражена через
142
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
табулированные функции. В частности, для однородного цилиндрического фронта, когда \х = 0, ос = —1/2, из (38) получим
/W1 Pf I - h (їц) Vnl2v [С (v) - iS (v)]9 (39)
причем == - Оц + S + у/2, С (а) и S (у) — интегралы Френеля. Для однородного сферического фронта при \к = О, х — 0 из (38) следует, что
pJ\Pf\ -h(t+ 0/2)81(0/2), (40)
где Si (о) = sin vjv. Формулы (39) и (40) совпадают с выражениями (3.1.5) и (3.2.3), полученными выше.
Функцию распределения поля по акустической оси фронта (38) невозможно в общем виде выразить через табулированные функции. Поэтому при v < 2 гипергеометрическую функцию целесообразно представить в виде ряда по степеням v:
Ра/Р/«1-0,5[(х+1) (|4+1)/(*+|1+2) (х+ц+3)]Л (41)
При о>2 функцию Ф в (38) удобно представить в виде асимптотического ряда по степеням v~l. Используя асимптотическую формулу и ограничиваясь первыми членами, получим представление поля на оси фронта при больших значениях v:
Pu ^ М(х+1)л/2]Г(х+1) L лі(х+і) pt~ В(х+1, + Iі 1 V
-b(v)f^[i-,M]^) +
-I 0(1,—3) |-0(іГ*--3), (42)
где if = V — (х + ц) "/2.
В случае сферического фронта, когда и = 0, поле на акустичеокой оси можно представить в конечном виде:
где Ye = — O6 + g + о/2 = —kf + я/2 + S + »/2. Формула (43) удобна для вычисления поля при целых зна-
§ 3.5J
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ДЕВАЯ
143
Рис. 3.Ii
144
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
(ГЛ. з
чениях г = 0, 1, 2, . . . В частности, при г = 0 получается выражение для поля однородного фронта:
pJ\pf\=h(b)si(v/2), (44)
при г = 1 — поле фронта с линейно убывающей к краям амплитудой:
^j- Д Ш {4 + (¦f) - cos 4] 4}. <«>
и т. д. Другой ряд формул можно получить для распределения поля по акустической оси сферического фронта, когда функция распределения амплитуды 'имеет вид 4(t) =il — 6/:
(46)
Из (46) при 6 = 0 и 6=1 получаются соответственно выражения (44) и (45). Учитывая, что для акустической оси t = sin2 (0/2) /sin2 (QJ2), и полагая 6 = 2 sin2 (9m/2), из (46) получим выражение для поля при косинус-распределении амплитуды на волновом фронте, когда ЧГ(0) =cos0:
^=і.<ї4,(4)-4г-
На рис. 3.14, а показан рельеф распределения поля по оси цилиндрического фронта, а на рис. 3.14, б — по оси сферического фронта при разных значениях |х. В обоих случаях с увеличением |х главный максимум расширяется, минимумы сглаживаются и кривые становятся более пологими. Интересно отметить, что существуют граничные значения (X = р,гр такие, что при |х < р,гр распределение поля по оси фронта носит осциллирующий характер, *а при |л>р,гр — монотонно спадает с увеличением |х. Для цилиндрического фронта р,гр « 0,5, а для сферического \1г9 « 1,
ГЛАВА 4
коэффициенты усиления,
факторы фокусировки
и эффективные углы раскрытия сходящихся волновых фронтов
В оптических фокусирующих системах обычно рассматривают концентрацию энергии в фокальном пятне или увеличение интенсивности света в фокусе по сравнению с его интенсивностью в падающей на систему волне. Это объясняется простотой регистрации потоков энергии световых волн и невозможностью измерения электрического и магнитного полей этих волн из-за очень высокой частоты (~1014Гц). Для звуковых волн легко измерить давление р и интенсивность / и трудно (или невоЗіМожно) на высоких частотах измерить колебательную скорость v. Однако последняя величина почти всегда может быть вычислена по измерению двух первых. Поэтому в звуковых фокусирующих системах рассматривают три коэффициента усиления: звукового давления КР9 колебательной скорости Kv и интенсивности Ki. Впервые необходимость введения трех коэффициентов усиления для характеристики звуковых фокусирующих систем отметил Розенберг [10]. Он же ввел понятие фактора фокусировки, определяющего степень использования фокусирующих свойств системы при фиксированном потоке энергии [13, 34]. Тартаковский разработал метод расчета /Ср и K9 для осесимметричных волновых фронтов, обладающих одновременно неравномерным распределением амплитуды и фазовой аберрацией [25]. В настоящей главе дано дальнейшее развитие понятий «коэффициент усиления» и «фактор фоку-
