Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
\р(го,п, O)0)I = O,
(1)
P {Г0,п\ O)0) = 0.
(2)
116
СХОДЯЩИЕСЯ ЬОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ГГЛ. 3
называю і Оиамеїром фокального пятна. Аналогично этому для цилиндрических волновых фронтов мы будем называть величину 2г0, і шириной фокальной полосы. Поскольку в фокальной плоскости как осесимметрич-ных, так и цилинідрическиїх волновых фронтов имеются нули, то для отыскания их координат достаточно воспользоваться уравнением (1).
Размер фокального ¦ пятна осесимметричных волновых фронтов впервые был определен в работаїх Розен-берга [10, 34] и Тартаковского [21], а цилиндрического фронта — в работе Каневского и Розенберга '[14]. В настоящем параграфе мы исследуем размеры окрестности фокуса в главных направлениях — в фокальной плоскости ((I)o=Iя/2) и по акустической оси (о>о=0, я), причем в последнем случае рассмотрим влияние асимметрии распределения поля при малых коэффициентах усиления сходящегося волнового фронта на размеры окрестности фокуса. Полное представление о размерах окрестности фокуса может дать также функция распределения звукового давления (или потенциала) в фокальной области, однако ее построение сопряжено с длительными расчетами и выполнено нами только в частных случаях: для цилиндрического фронта в § 3.1, для сферического — в § 3.2. Следует также отметить, что в подавляющем большинстве практических случаев знание размеров окрестности фокуса в главных направлениях оказывается достаточным для представления о фокусирующих свойствах системы и установления пригодности ее для определенных, конкретных целей.
3.4.1.1. Цилиндрический фронт. Определим размер фокальной полосы цилиндрического фронта бесконечной высоты. Поскольку в фокальной плоскости всегда имеются нули функции распределения звукового давления, то применим уравнение (1). Если ат^30°, то из (1) и (3.1.4.) получим Si(Ay0 sin OCm)=O, откуда kyo,n =ля/sin aw. Учитывая, что для длиннофокусных систем sin aw « am =¦ a/f, где а — полуширина фронта, / — фокусное расстояние, найдем размер окрестности фокуса в фокальной плоскости:
kyo, і « я/а«, Уо, і « 0,5А,//а, (3)
где г/о, і — полуширина фокальной полосы.
§ 3.4J СТРУКТУРА ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА 1І7
Для полуцилиндрического фронта, у которого CCm = = я/2, из формулы (3.1.7) получим уравнение /о(^/о)=0, первый корень которого дает размер окрестности фокуса:
kyo. і = 2,4, уо, і « 0,38Л.
(4)
Такие же значения получаются для замкнутого волнового фронта при а™ = я. Для других углов раскрытия волнового фронта не удается получить простые выражения для размера окрестности фокуса. Поэтому нули функции распределения звукового давления приходится определять непосредственно из графиков этих
ки™ку(я}
10
V
5.0
! 1 I I I I I \ I \ bo
\\\ ч і \\ \ м\ w \ V N \ \ Л \ ^ \
N \ ^ W
60
120 180
Рис. 3.8.
функций, таких, как на рис. 3.1. При помощи графиков и формул (3) и (4) на рис. 3.8 (кривая /) построена зависимость полуширины фокальной полосы ky$ цилиндрического фронта от его угла раскрытая (от~ =1 ос™. Кривая имеет слабый минимум при угле ат « »2я/3=120°, что объясняется особенностью интер-
118
сходящиеся волновые фронты
ггл. 3
ференции волн, приходящих в окрестность фокуса из разных направлений. I
Определим теперь размер окрестности фокуса по акустической оси. Поскольку функция распределения звукового давления на этой оси не обращается в нуль, то надо воспользоваться формулой (2). Для малых углов am < 1 применим выражение (3.1.5), причем для упрощения расчетов подставим в формулу (2) \p(kz0, 0)|2, поскольку экстремальные точки у функций |р| и |р|2 совпадают. Дифференцируя по координате V9 получим трансцендентное уравнение y\(v) = y2{v)9 в котором y\(v)—модуль распределения звукового давления по акустической оси (3.1.5), a y2(v) ='[C(i>)cos v + +S(i>)sin v]xu. Фактически построение yi(v) сразу же даст ответ о положении экстремальных точек, однако функция y\(v) изменяется плавно, поэтому использование координат точек пересечения графиков y\(v) и y2(v) позволяет более точіно определить размер окрестности фокуса. Первый корень v0ti = 5,52 определяет координату первого минимума. Учитывая, что v0> і = kzo, iam2/2, найдем размер окрестности фокуса
кгол~ И,4/о?, год« 1,82VaI. (5)
Второй корень v0>2 дает положение бокового максимума. Следующие корни, чередуясь, определяют положения минимумов и максимумов.
Для полуцилиндрического фронта, когда ат = я/2, положение минимума можно определить либо из решения трансцендентного уравнения J0 (kz0) J'o (kz0) + + S0 (kz0) So (kz0) = О, получаемого из формул (2) и (3.1.8), либо непосредственно по графику модуля функции (3.1.6). Последним способом получим размер окрестности фокуса
ftzo.1 = 5,52, Zo.i = 0,83^. (6)
Для других значений ат находим kzot\ из кривых распределения звукового давления по акустической оси, например из кривой рис. 3.1, построенной для aw = = 60°. Как будет показано ниже, при ат <. 90°
§3 4] СТРУКТУРА ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА Ц9
справедлива также формула
kzoi = я/sin2 (ате/2), z0t i = %/2 sin2 (am/2). (7)
