Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
формулами (32) и (33). Приближенная формула (32) получена при помощи разложения (31). Потребовав, чтобы разложение позволяло вычислять Да с точностью, не меньшей 10%, получим Аа^0,8, откуда
/(?;;>> 1,6(1-S0K-1. (34)
Ниже приведены значения ?, соответствующие им значения /Ср0\ найденные по формуле (34), и значения S™, вычисленные по формуле (33) для указанных в таблице Kj0Q-
0,001 0,05 0,10 0. 15 0, 20 0,30 0,40 0.50
1600 30,4 14,4 8,1 5,4 3,7 2,4 1,6
4 •ht6 0,012 0,055 0,154 0,29 0,47 0,68 0,82
Из (33) следует, что формула (32) будет справедлива с достаточной степенью точности только тогда, когда Sm ^ So- Как видно из таблицы, это условие выполняется только при > 8. Если мы снова допустим погрешность порядка 10% при пользовании формулой (32), то при/Ср^>11 можно применять формулу (33). Итак, для определения положения волнового фокуса на акустической оси при 8 необходимо искать
графически корни уравнений (30); в интервале 8</С < 11 следует пользоваться формулой (32), а при К(^ > >11 можно применять простое выражение (33).
§ 3.5. Обобщенный метод Дебая для расчета поля в главных направлениях в фокальной области
В §§ 3.1 и 3.2 мы исследовали поля сходящихся волновых фронтов цилиндрической и сферической формы. Сравнение графиков функций, описывающих распределения полей в окрестности фокуса, позволяет заключить, что все они —плавно изменяющиеся кривые,
§3.5]
обобщенный метод дебая
133
форма которых незначительно варьируется при малых изменениях параметров сходящихся волновых фронтов. Еще большее сходство можно обнаружить между кривыми, описывающими поле в одном направлении, например в фокальной плоскости или по акустической оси. Это позволяет заключить, что поля в окрестности фокуса можно приближенно описать какими-либо общими функциями. Это нам удалось сделать только для главных направлений — фокальной плоскости и акустической оси — в двух случаях: 1) при достаточно малых углах раскрытия волнового фронта u)w<1; 2) при ют = я/2 [39]. Полученное общее выражение, описывающее поле с помощью обобщенной гипергеометрической функции, пригодно как для цилиндрического, так и для сферического сходящихся волновых фронтов. Поскольку исходными выражениями являются формулы Дебая, то все рассмотрение проведено в приближении Кирхгофа, являющемся вполне достаточным для фокальной области сходящихся волновых фронтов.
3.5Л. Обобщение формул Дебая. Если г0 — расстояние от геометрического фокуса до точки наблюдения, a f — радиус кривизны поверхности волнового фронта, по .которой производится интегрирование, то в фокальной области, когда r0<.f, формулы Дебая (1.2.10) и (1.2.11) .можно представить в следующем виде:
Рц = /?о У lfh^ ац) (а) cos(p sin а0 sin а) X
В этих выражениях ^(©) — функция распределения амплитуды по фронту, зависящая от угловой координаты о), равной а или 0, и обладающая симметрией относительно оси фронта; J0(x) — функция Бесселя нулевого порядка, h(x)— функция-винт (экспонента с мнимым аргументом), Оц = Щ—л/4, oQ = kf—я/2. Обобщим
о
о
X h (р cos O0 cos 9) sin 0dd. (2)
134
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
формулы (1) и (2) для главных направлений сходящегося волнового фронта и докажем, что распределение поля в главных направлениях сходящихся цилиндрического и сферического волновых фронтов выражается функцией
х*?°(0а, (3)
где nF\ — обобщенная гипергеомстрическая функция, в которой символ ..., (и + 1)(п) содержит п
одинаковых членов, к = — 1/2 для цилиндрического и >с = 0 для сферического фронтов;
^ (0 = Va [© (01 (1 - qJT{*+4t)-tU (4)
— обобщенная функция распределения амплитуды по сходящемуся волновому фронту, в которой
Яп = qn (о*) = sin2 (o)m/2n); (5)
(w = р sin G)0 sin (om при O)0 = я/2 (л = 0),
[v = 2pcosG)0sin2(o)m/2) при O0 = O (м = 1)
(6)
— обобщенная координата в формуле (3) в фокальной при п = 0 и в осевой при л = 1 плоскости, причем
(а при х = - 1/2,
""{оприн-О (7)
(sin2 w/sin2 o)m при (O0 = я/2 (п = 0), ' = (sin2 (o)/2)/sin2 (o)m/2) при O)0 = 0 (л = 1) ( >
— обобщенная переменная интегрирования. Доказательство. Рассмотрим функции
Лн(>с)-Г(х I I)(V^)-Vx(X) =
(Л_ j/2(v) = cosa: при x = — 1/2, A0W = /uW при H = O,
-г
(9)
§ 3.6j
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ДЕБАЯ
135
2К+і,
{ Jl при х = — 1/2, со — |s.n ^ х = 0,
j/^ M-(T4) при « = -1/2,
причем
а(н)
-«-0.+I)-^-C:.«-
Qu="kf — я/4 при X= — я/2 при х = 0.
(H)
1/2,
Сравнивая эти выражения с (1) и (2), можно написать формулу
PM = 2/?0L>(k) I ?л ((о) Ax (р sin (d0 sin (o) X
X h [р cos o)0 cos (о] sin2w+1(o do), (12)
которая при X = —1/2 совпадает с формулой (1), а при х = 0 — с формулой (2).
Из (12) при (Do = я/2 получим распределение поля в фокальной плоскости:
Q = 2D(H) f WA (о) Лн (р sin (о) sin2K+1o) do), (13)
Po J
о
а при (Do = 0 — вдоль оси фронта:
^¦ = 2Д Po
w77l
(и) J Ч'а (w)h[p cos (о] sin2x+1g) do. (14)
Введя в (13) и (14) обобщенные координаты (6) и обобщенные переменные (8) соответственно, получим
1
f± = D(H) (sin» (Dn,)*+1 f ГА»(w VT) ?A [ш (01 X
