Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Vr (р, O0)« - V0K^ cos2 (0m/2) A1 (w) h(-y). (16)
3.3.2.2. Тангенциальная компонента скорости получается путем дифференцирования выражения (3.2.8) и применения формулы для производной от полинома Лежандра:
».(p.e.)»- TSt-3W-V*.+«*
X ^n-i.n+i(C0S e*) (р) [cos O0Pn (cos 0О) - Pn+1 (cos 0О)].
В окрестности фокуса, беря только первое слагаемое, найдем
ve (P, вв) = v0K(^ cos2 (0m/2) h (- ас) T (р) sin вв. (17)
•Сравнивая (14) и (17), видим, что в первом приближении радиальная и тангенциальная компоненты имеют одинаковую зависимость от р, фазовые множители компонент отличаются на л, а в направлениях 0О, в которых одна из !компонент достигает максимума, другая компонента обращается в нуль.
Сложив Vr и Ve9 найдем результирующий вектор колебательной скорости в окрестности фокуса:
V = V0K^ h (- ое) cos2 (0m/2) T (р)У2 sin (0О -я/4).
§ 3.3]
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ
113
Компоненту V9 мы можем выразить через ламбда-функции, воспользовавшись формулой (1.2.9). При этом расчет производится точно так же, как и для компоненты Vr при условии 9Ш<1. В результате получается следующее выражение:
Vq = JjJ- = Vokf h (- kf) [IV1 sin O0 + V2 cos O0], (18)
где
OO
V1 = 0,5h [p (1 - 0,5 sin2 9J] 2 »V1An+I (w)/(n + 1)!,
n=0
OO
V2 « sin3 0m h (p cos O0 - q) 12 ''VAn+2 И/(/г + 2)! +
71=0
+ 0(sin5 0W),
причем w YL q определены выражениями (3.2.14), a O(sin50m) ~ sin50m « 0. В фокусе, при p = 0, выражения (17) и (18) дают одинаковые значения. Этого следовало ожидать, поскольку для фокуса интеграл Дебая вычисляется точно.
3.3.2.3. Аксиальная компонента скорости вычислена с помощью формулы (1.2.9), после дифференцирования которой введены обозначения и приближение (3.2.14). Если sin20m< 1, л = Л>//< 1» то vz q) = — V0 cos O0 cos2 (9m/2) h (— у) x
OO
X 2 inqn^n+i(w)l(n+ 1)!, (19)
n=0
где Y имеет такое же значение, как в формуле (15). Если вычисления производить приближенно, как это сделано в работе [10], то в (19) будет отсутствовать множитель cosOo, учитывающий векторный характер скорости. Этот результат получается потому, что в указанном приближении пространственный угол между R
и Z0 заменяется плоским углом 9: dR/dz0 = cos (R9 Z0) « cos 9. При такой замене не учитывается более сложная зависимость R от вытекающая из выражения (1.1.4).
114
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
Распределение аксиальной компоненты скорости по акустической оси получим из (19) при Go = 0 или G0 = я: vz = ± V0K^0 cos (Gw/2) S1 (q/2)9 причем плюс
надо брать при Go = O, а минус — при Go = я. Для фокальной плоскости Go = я/2 и vz = 0. Этот результат следовало ожидать, поскольку аксиальная компонента скорости направлена вдоль акустической оси волнового фронта и должна обратиться в нуль в фокальной плоскости, которая ортогональна этой оси.
3.3.2.4. Результирующий вектор скорости получим при помощи формулы (1.1.13):
2л
v = ve + vr-^\ <*фХ о
X f У (9)— h(-**> Г—gg__і- ^Isin0d9. (20)
о
Для фокуса р = 0; тогда из этой формулы- следует, что
X (V(G) cos 0 sin OdG. (21)
§ 3.4. Структура поля в окрестности фокуса
Распределение поля в окрестности фокуса играет решающую роль во многих практических применениях фокусирующих систем. Например, в звуковизорах !необходимо применять фокусирующие системы с узким главным максимумом, толда как в технологических установках целесообразно использовать системы с широким главным максимумом, поскольку в первом случае повышается разрешающая способность, а во втором — производительность. В системах звукового сканирования — гидролокаторах, приборах медицинской диагностики и др.— для увеличения разрешающей способности деле-
§3.4]
СТРУКТУРА ПОЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА
115
сообразно применять фокусирующие устройства с узким главным максимумом распределения и минимальными побочными максимумами, чтобы избежать ошибку при определении места положения объекта. Для проектирования фокусирующей системы необходимо прежде всего знать зависимость размеров фокальной области от параметров фокусирующей системы. Кроме того, для определения технологических характеристик концентраторов ультразвуковой энергии необіходимо установить форму фокального пятна. С точки зрения геометрической акустики, «когда X-*-0, фокальное пятно сходящегося сферического фронта стягивается в точку, а фокальная полоса цилиндрического фронта — в линию. В волновом приближении % Ф 0 и фокальное пятно или фокальная полоса имеют конечные размеры. Поле в окрестности фокуса (в фокальном пятне или полосе) и в фокальной области, охватывающей ближайшие побочные максимумы, имеет сложное строение, которое мы рассмотрим в разделе о микроструктуре фокальной области.
3.4.1. Размер окрестности фокуса. Для определения размера окрестности фокуса надо найти координаты первого минимума функции распределения модуля звукового давления или потенциала. Если модуль функции распределения обращается в нуль, то эти координаты можно определить из уравнения
а если не обращается в нуль, а только достигает мини мума, то из уравнения
В этих уравнениях г0,„ — корень, а п — его номер. Угол coo является параметром. Величина Го, ь представляющая расстояние от фокуса до первого минимума, дает размер окрестности фокуса в заданном направлении wo. Решение уравнения (1) или (2) при любых значениях coo сопряжено со значительными трудностями. Поэтому обычно ограничиваются отысканием первого корня г0, і при coo = я/2, т.е. определением размера окрестности фокуса в фокальной плоскости. Величину 2г0, і для осесимметричных волновых фронтов обычно
