Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Каневский И.Н. -> "Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн" -> 28

Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.

Каневский И.Н. Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн. Под редакцией Петруница Н.А. — М.: Наука, 1977. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): fokusirovaniezvukvoln1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 94 >> Следующая

100
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
в виде разложения по полиномам Лежандра и сферическим функциям Бесселя:
где
^n-I1 п+1 (cos 9W) = Pn-I (cos Bm)-Pn+I (cos 9W),
P-I (COS 0m) = 1,
Fn (*/) = S iq (n + q)Mq\ (/і-?)! (2z)«.
В окрестности фокуса, при р<1, ограничимся двумя членами ряда (8); тогда
E^M = h (- <гс) [% (р) + (р) cos Є0 sin» (¦%)]. (9)
Для акустической оси во = 0, Pn (cos во) = 1; тогда из (8) следует
Pa (S) _ V .п Г ^n-l.n+l (c°sBm)
m
4Ut) M*/). (Ю)
Для фокальной плоскости, когда во = я/2, найдем
ш— a L^j7J —f=^;— *2п(л) 2п ш
(11)
Для полусферического фронта, когда вт = я/2, получим
рЛч)1\рА =Ыл) = Мл). (12)
При А/ 1 при помощи четырех членов ряда формулы (11) построены распределения звукового давления в фокальной плоскості для !разных углов раскрытия волнового фронта Q7n = 30, 60 и 90°, которые показаны на рис. 3.5 сплошными линиями. Там же прерывистыми
§ 32]
СФЕРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
101
линиями показаны известные распределения звукового давления длиннофокусных систем, построенные по формуле Рэлея (5). Рассмотрим физический смысл формулы (9), Если 6т = я, то волновой фронт замкнут, тогда из (9) получим известное распределение звукового давления в замкнутой сферической полости с радиаль-но колеблющимися стенками:
рЛр)1\рА =Ь(Р) = Si (р). (13)
Если 6щ< я, то возникает дифракция на краю полости, вследствие чего к выражению (13) добавляется второй, дифракционный член формулы (9). Чем меньше 6т, тем больше полость отличается от замкнутого объема и тем большее КОЛИЧЄ- -/
ctbo ЧЛеНОВ НаДО уЧИТЫ- jq
вать. Следовательно, фор- ' мула (8) наиболее удобна при описании волновых фронтов с большими углами раскрытия. Формула (5) Q5 получена для длиннофокус- ' ных излучателей, у которых углы раскрытия 0m <С 1. Чем меньше Эт, тем точнее формула (5). Следовательно, выражения (5) и (8) 0 применимы в разных об-ластях значений Эт: при и>1 0т> 1 и три 9т< 1 coot- рис. 3.5.
ветственно — и, следовательно, дополняют друг
друга. Эта особенность сравниваемых формул отражена графиками рис. 3.5: при Эт= 60° а* 1 радиану кривые в области главного максимума практически совпадают, а при Эт ><1 и Эт< 1 расходятся, причем тем больше, чем больше 0т отличается от 1. При 0т >1 более точны кривые, построенные по формуле (8), а при 9m< 1 — по формуле (5).
3.2.1.4. Выражение поля через функции Ломмеля и ламбда-функции. При исследовании дифракции плоской волны на круглом отверстии Ломмель ввел функции двух переменных q и W9 U\(2qy w) и U2(2q, W)9 которые
102
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
выражаются бесконечными !рядами. При помощи этих функций можно также описать поле сходящегося сферического волнового фронта при условии малости угла раскрытия последнего: 0m<cl. Для этого обратимся к формуле (1 2.9), в которой положим
q ~ (р/2) cos O0 sin2 O7n, w = р sin O0 sin O7n, t = sin 8/sin 0W, cos 8 a* 1 — 0,5 sin2 0.
Тогда получим
Фс (q> w) = vj sin2 0W h (- kf + p cos O0) x
(14)
X jh(-ql*)J0(wt)tdt. (15)
Интегрируя по частям, найдем выражение для звукового давления сходящегося сферического фронта:
Pc Ui (2д, + (U2 (Sg» w) па\
где
pf = p0KpoCOS2(Qj2)h(kf — u/2), и = 2р cos O0 sin2(0w/2).
При р = 0в формуле (16) получается неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее при w-*~0> ?->0, получим Hm р/рf = 1. Следовательно, особенность в фокусе отсут-
ствует.
Выразим теперь распределение звукового давления через хорошо изученные и табулированные ламбда-функцин:
/V in. «0 V
^ 2d 1 я («+і)! • уи)
Удобство формулы (17) состоит в том, что координаты q и w разделены їй, в соответствии со свойством ламбда-функций, отсутствует неопределенность при р = 0. Для фокальной плоскости при 6о = я/2, 9 = 0, o; = T)Sin0m из (17) получается выражение Рэлея (5),
§ 32]
СФЕРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
103
а для акустической оси при Эо = 0, q= (?/2) sin2 6m, w = 0 — известное распределение (3). На рис. 3.6 приведен рельеф распределения модуля звукового давления в фокальной области од- • , • нородного сферического Y0 г-фронта, построенный с по- ' мощью выражений (17) и (12) при 6т = 60°. Закономерности распределения s звукового давления аналогичны закономерностям на рис. 3.1, на котором изображен рельеф распределения поля в фокальной области °>z однородного цилиндрического фронта при <Хт = 60°.
3.2.2. Представление выражений для поля в конечном виде. Рассмотрим распределение звукового давления по акустической оси. Для этого достаточно воспользоваться формулой (2.1.11) для потенциала и
перейти к звуковому давлению с помощью (1.1.8); тогда
рА - /;М2Щ)AaM-A)S1 (Да), (18)
где А и Да имеют значения (2.1.10). Формула (18) учитывает, что поле на акустической оси распределено не симметрично относительно геометрического фокуса. Чтобы показать это, перепишем Да, используя формулы (2.1.10) и (2.1.9):
Aa = (ВД{[1 + 2UcosЄш]1/2 - (1 - U)) =
-¦Ї о- «{[•+»^=пЗ^г-1}.
При ? = ZoIf9 разлагая радикал в ряд, ограничиваясь линейным членом по ?о и учитывая, что /Сро = (kf/2) (1 — — cos0w)t получим
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed