Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
3.1.5.1. Поле полуцилиндрического фронта в главных направлениях. Сначала рассмотрим более простой случай полуцилиндричеакого фронта (ат = я/2). Для направления вдоль акустической оси z значение ао = 0. Подставляя величины ат и ао в формулу (1.2.16) и учитывая интегральные определения функций Бесселя и Струве, получим
Этот интеграл вычислим методом перевала. В результате получим формулу, приведенную в работе [14]:
p11(pf «о)
OO
= S e„tM„ (am) J„ (р) cos па0.
(21)
, /~~2 h (I cos вт) sin ? + So (; cos 9m) cos ?
У nkf tgem
, /Т (S cos Єт) cos ? + s0 (g cos 9J sin ? і)
У nkf tp; Jl'
(23)
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
89
где ? = ^(sec 6m— I)—я/4. Здесь первые слагаемые в квадратных скобках отображают поле, даваемое бесконечной цилиндрической поверхностью, а вторые — поправочные члены, учитывающие конечную длину цилиндрического фронта. Из (23) видно, что распределение потенциала для цилиндрической поверхности конечной длины 2Ь мало отличается от распределения
1,00
0,75
0,50
0,25
1,00
0,75
0,50
а
0,25
6 9 IZ I5kz,
ч V— T
А
\ ,; л
О 3 6 9 12 15ку0
Рис. 3.3.
потенциала бесконечного цилиндрического фронта. Действительно, если длина поверхности S не меньше двух ее радиусов кривизны, то tg6m^l, величина же радикала V2/n/tf<^ 1, так как 1. Отсюда следует, что
do
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
[ГЛ. 3
поправочные члены невелики. В пределе, при 6m->-90o, они обратятся в нули и выражение (23) перейдет в (8). На рис. 3.3, а показаны распределения модулей звукового давления в направлении оси z для бесконечного цилиндрического фронта (8m = 90°, кривая 1) и для конечных излучателей с углами 60° (кривая 2) и 45° (кривая 3). Кривые идут близко одна к другой, что свидетельствует о небольшой величине поправки (менее 15%), связанной с переходом от бесконечного цилиндрического фронта к конечному.
Чтобы найти распределение потенциала полуцилиндрического фронта в направлении оси у, положим в выражении (1.2.16) а», = я/2, ao = я/2 и используем интегральное определение функции Бесселя; тогда
Фц(г)) = =^ h(-?/sece)/0(r)COse)sece<f9. (24)
Этот интеграл вычисляется методом перевала так же, как интеграл (22). В результате получается следующее выражение для распределения звукового давления в направлении оси у [14]:
^3-b(-*)[/.w-i^esh«»]- <25)
В этом выражении функция Бесселя /o(rj) отображает поле бесконечного цилиндрического фронта, а второе слагаемое — поправка, учитывающая конечную длину поверхности 2. При 8т-^90° (25) переходит в (7). На рис. 3.3, б показаны распределения модулей звукового давления в направлении оси у для бесконечного цилиндрического фронта (8m = 90°, кривая 1) и для конечных излучателей с углами 6т, равными 60° (кривая 2) и 45° (кривая 3). Из графиков видно, что влияние конечной длины цилиндра дает, в указанных пределах изменения длины, отклонения порядка 10%.
3.1.5.2. Поле фронта с произвольным углом раскрытия. В предыдущем разделе было рассчитано поле полуцилиндрического фронта в направлении главных осей. Теперь приведем формулу, дающую распределение по-
'го
§ 3 1]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
91
тенциала вдали от фокуса при любых углах раскрытия фронта <хт. Для этого выражение (1.2.16) проинтегрируем дважды методом перевала, учитывая, что перевальными точіками будут ссп = <хо и Gn = 0. В результате интегрирования получается следующее выражение [14]:
Ь(-я/4) T1 А(+> h(-C(f)) I , i/^JlbOL 4. , р [V f slnWao)J Г І sln (am~a«) J '
2h(-C<0) + n/4) j/ffi іУ~2
nV^ptgem V f V^ptgemx
L ' sin(am+a0)"1" / *n(aw--ao)]J' ^0'
где
?(0) = *S0> ?(±) = **(±\ Si0) = AM0), C^-aaK P = Ar0> R0=f-r0, Л(±)=[/а + ^-2/г0со8(ат±ае)],/2, Mo) = [/2sec^0w + ro2-2/ro],/2> M±} - I/2 sec2 0m+r§ — 2/r0 cos (am ± a0)],/2.
В выражении (26) первые два слагаемых описывают поле бесконечного цилиндрического фронта, как в формуле (9), а последние два учитывают конечную длину фронта и описывают волны, идущие в точку наблюдения от торцов 0 = ± Gm цилиндрической поверхности: третье слагаемое — волна от торца из точки a = осо, четвертое (последнее) — две волны от торца из точек а — (хт и a = —am. Поскольку для сокращения места мы ограничились случаем, когда точки наблюдения расположены симметрично относительно торцов, поле удалось описать при помощи шести волн. В общем случае таких волн будет девять: от каждого направления 9 = 0mi, 0 = —0mi и 0 = 0 по три волны, распространяющихся из точек a = am, a = —am и a = O0. Формула (26) позволяет вычислить значение потенциала, с
у2
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
[ГЛ. 3
достаточной степенью точности при следующих ограничениях: VrJ^K Го < f, —am < ao < am; я — am < <а0<я + ат, tg6m >1/?/. Первые четыре ограничивающих условия означают, что потенциал может быть вычислен в кольцевых секторах; при этом концы секторов при осо= ±0Ст и ao= я±ат исключаются из рассмотрения. Последнее ограничивающее условие означает, что выражение (26) применимо к цилиндрическому фронту, длина которого достаточно велика. Если перейти к фронту бесконечной длины, положив Qm = я/2, то (26) переходит в выражение (9).
