Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
to
104
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ГГЛ. 3
Точно также найдем приближенное значение для А:
А » + ? sin* (в«/2)/(1—Со).
Подставив Дц и А в (18), получим искомое выражение:
(19)
где Oc = kf — я/2, ^ = fez0, = Z0//, V = 2t, sinJ(6m/2).
В формуле (19) множитель 1/(1 — ?0) показывает явную зависимость амплитуды от знака координаты:
Р/Рт
A \
/п /h m } 11 \ \ flR \
/ / / / / / U>\ \ \ \10 1 г O'l I
їй I '» I \ 1
I I I I °'L\ V Щ I 1 \ 1 A I A / \ U ¦ Ii U
¦—Ч 0 -0,5 ^—У / 0 \ Ш1 1 л /\ /7 0 1 і Ii
4«- \
Рис. 3.7.
дри движении из фокуса ,к излучателю ?0 >0 и величина 1/(1—?0) возрастает, тогда как при движении от излучателя Со < 0 и величина 1/(1 + |?о|) убывает. При помощи формулы (18) построены на рис. 3.7 нормированные к единице распределения звукового давления plpm> где рт — максимальная амплитуда (в волновом фокусе). Предполагается, что углы раскрытия
§32]
СФЕРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
105
фронтов одинаковы и 0m = 60°, а коэффициенты усиления Kp = 5, 10 и 20. Излучатель расположен справа, при ?=1. Из графиков следует, что асимметрия распределения р/рт тем больше, чем меньше Kp. При Kp ^ 100 асимметрия практически отсутствует. Именно этот случай реализуется в оптике из-за огромных (по сравнению с акустикой) веліичин f/X. В звуковых линзах, как правило, КР<100 или /(„<100, вследствие чего наблюдается асимметрия распределения звукового давления по акустической оси. Следует подчеркнуть, что формулы (18) и (19) представляют точные значения одночленной формулы Грина (1.1.13). В работе [16] Тартаковский получил точное значение для одночленной формулы (1.1.11) и показал, что значения (18) и (19), строго говоря, справедливы при следующих условиях: ? < 1, U sin<aw/2)/(l — ?)]« 0- Эти условия выполняются во многих практических случаях, и результаты, полученные из формул (18) и (19), с достаточно высокой степенью точности выполняются на практике.
Если коэффициент усиления волнового фронта достаточно велик (Kp > 100), то Aa « 0г='2? sin2(0m/2), а из (18) следует, что
Pb(V)IPfC=S1(Vp) (20)
т. е. распределение поля по акустической оси сходящихся сферических фронтов симметрично относительно фокуса.
Рассмотрим теперь поле в фокальной области на достаточно больших расстояниях от фокуса, когда р> 1. В этом случае целесообразно представить выражение для поля в виде ряда по степеням р-1, применив метод перевала [20].
Для случая 0<е0<9т или я —Єт<Є0<я найдем, что
Ф(р, e0)=-W/p) {h(So)tg290-
— sin 0m[h (—?<-> — n/4)/sin (Єт — G0) +
+ Ь(-Є<+> + я/4)/зіп(Єт + Є0)]}, где Єо'=*?#о, = R0 = f — r0t A<±>»f_
— Tq cos (Qm ± O0) , p = kr9.
106
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ГГЛ. 3
Таким образом, в области звука поле сходящегося сферического фронта можно приближенно представить в виде трех волн, первая из которых идет по кратчайшему расстоянию от излучающей поверхности в точку наблюдения, а две других — от наиболее и наименее удаленных краев этой поверхности. Первая волна дает геометрическое приближение, а две других — дифракционные поправки. Такой же результат был нами получен и для сходящегося цилиндрического фронта.
Если точка наблюдения расположена на границе области звука и тишины, когда G0 = 8т, то представим поле в виде двух волн:
У (р, Om) = ~ * (V0W [И (- kf К р)/р +
+ і ig Єт h (- kf + p cos 2ЄЛ)/К2яр].
первая из которых распространяется от ближайшего, а вторая — от удаленного концов излучателя.
Поле в области тишины, когда |Эо| > |6т|. имеет вид
ф (р, B0) = —i(v0ffp) У2/яр sin G0 sin 0m X
X {h + p cos(0w + Є0)+ я/4]/sin (0m + B0) —
—h [—kf + P cos (0m — Ba) — я/4] /sin (0m — O0)}.
Таким образом, и в области тишины поле можно приближенно представить в виде суммы двух волн, распространяющихся в точку наблюдения от наиболее и наименее удаленных точек излучающей поверхности.
§ 3.3. Колебательная скорость
При вычислении колебательной скорости фокусирующих систем, как правило, ограничиваются аксиальной компонентой вектора скорости, направленной по акустической оси [10, 21]. Такое рассмотрение является достаточным в окрестности фокуса, поскольку, как будет показано в § 3.4, волновые фронты в этой области плоские и ортогональны акустической оси. Однако во
§ 3.3]
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ
107
всей фокальной области такое рассмотрение недостаточно, поскольку, помимо аксиальной компоненты колебательной скорости, могут иметь заметную величину и другие компоненты, которые следует учитывать. Вектор колебательной скорости v связан с потенциалом скорости Ф соотношением (1.1.9). Поскольку потенциал представлен в комплексной форме, в . дальнейшем знак вектора опустим, а сложение векторов будем производить по правилам действия над комплексными числами.
Компонента скорости vzy направленная по акустической оси, называется аксиальной; компонента иг> направленная по радиусу кривизны волнового фронта, называется радиальной; компоненты va и V^ направленные по касательным к окружностям с центром в фокусе, называются тангенциальными; компонента V^ касательная к любой окружности с центром на оси, лежащей в фокальной плоскости, называется сагиттальной. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только осесимметричных фокусирующих систем, у которых = 0. Поле цилиндрического фронта мы будем рассматривать в средней части оси цилиндра, причем высоту фронта будем предполагать достаточно большой. При этих условиях величина компоненты скорости в направлении оси цилиндрического фронта будет пренебрежимо малой и можно считать Vx « 0. В дальнейшем мы вычислим различные компоненты колебательной скорости цилиндрического и сферического сходящихся волновых фронтов. Общую скорость можно определить путем векторного сложения соответственных компонент, например, v = vr-\-ve и т. п.
