Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
5./.5.3. Поле на фокальной оси. Для идеального бесконечно протяженного цилиндрического фронта звуковое давление на фокальной оси постоянно и равно давлению в фокусе pf. Поскольку реальные волновые фронты имеют конечную протяженность 26, определим ее влияние на звуковое давление в фокусе в трех случаях: в середине фокальной оси конечного фронта; на краю фокальной оси конечного фронта; в окрестностях края оси полубесконечного фронта. Рассмотрение этих трех случаев позволит установить границы применимости формул, полученных для цилиндрического фронта бесконечной длины.
Рассмотрим поле в середине фокальной оси конечного фронта. Для значения потенциала в середине оси фронта из (1.2.16) р = 0 получим
ф (0) = 5^2? f h(-fe/ sec Є) secGdG. (27)
Вычислим эют интеграл методом перевала. В результате интегрирования, переходя к модулю звукового давления, найдем [5]
где ? = kf (sec 8W— 1) —я/4.
Рассмотрим теперь выражение (27) при условии малости длины 2Ь излучающей поверхности по срав-
§3.1]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
93
нению с радиусом ее кривизны: Ь < /. Тогда Эт = = arctg (b/f)< 1, sec8m« 1 + 9^2 и (27) приобретает вид
2уп/а
Ф(0) = ^Ь(-Л/)х
X
Значение первого интеграла дает формула (5), а значение второго получим методом перевала. Переходя к модулю звукового давления, найдем
В этом выражении первые слагаемые в квадратных скобках — интегралы Френеля — описывают такое же распределение потенциала, как при дифракции на краю полуплоскости, а вторые слагаемые —малые поправочные члены, так как nkf^>\. Интересно отметить, что в формулах (27) — (29) угол раскрытия фронта ат влияет только на амплитуду звукового давления, а форма его распределения по фокальной оси от угла раскрытия не зависит. С помощью этих выражений построена зависимость относительного звукового давления |р (0)//7/1 в середине оси фронта от относительной длины фронта b/f, показанная на рис. 3.4 (кривая I)9 причем левая часть кривой построена по формуле (29), а правая — по формуле (28). В области прерывистой части кривой оба выражения дают большую погрешность, и в интервале значений b/f от 1,75 до 3,1 зависимость показана ориентировочно. Из графика следует: поле в середине оси фронта конечной длины 2Ь будет отличаться от поля бесконечного фронта не более, чем на 15%, если длина фронта больше его диаметра: b > f.
Рассмотрим поле на краю фокальной оси конечного фронта. В этом случае воспользуемся цилиндрической системой координат, в которой ось х совмещена с фокальной линией. Тогда R = У72 + х2> dS=/ da dx и из
94
СХОДЯ1ЦИГСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
нл 3
(1.1.13) получим
•m-Sf W [*ffl?> *¦ (30)
где ATi и a:2 — расстояния от точки наблюдения до проекции торцевых концов цилиндрического фронта на фокальную ось. Предполагая, что х <^ /, упрощая подыи-
\Р(ФА
-3 0 6 JZ W Z4 30
и
Рис. 3.4.
тегральное выражение так же, как при выводе (1.2.10), и вводя новую переменную и2 = kx2/nf, получим
_ и»
Ф (0) = v9am У JL h (- kf) J h (- ? и*) du, (31)
§ злі
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
95
где Ux^Y^Xi/Y^Xf, ut=V2xt/Vhf — расстояния от точки наблюдения до концов фокальной оси, выраженные в зонах Френеля VTJf и умноженные на У 2.Строго говоря, последнее выражение справедливо, если X2 — Xi<f> поскольку мы предположили, что X <С /. Однако при больших значениях х углы между нормалью к излучающей поверхности и направлением на точку наблюдения столь велики, что вклад удаленных концов излучающей поверхности незначителен, и формулой (31) практически можно пользоваться при больших значениях х аналогично тому, как это делается при исследовании дифракции на щели. Переходя к модулю звукового давления и учитывая определения интегралов Френеля, получим
pf11=W(IC ы " с (| Ui 1)12+[S ("2>" s (| Ui ті/г'
¦л - (32)
Поле на враю оси фронта найдем, полагая Х\ = О, при этом
i ^ i=wIC2 ("2>+S2 (Ui)]iJ2' (33)
График выражения (32) показан кривой 2 на рис. 3.4. Из графика видно, что при увеличении длины излучающей поверхности (величины U2 — и) относительное давление сначала монотонно возрастает, достигая максимума при и = 2,5, а затем* осциллируя, приближается к прямой Jp(O)//?/) 1/2, так что Hm \p(0)/pj\ =
п-*со
==0,5. Следовательно, звуковое давление на конце оси полубесконечного фронта равно половине давления на оси бесконечного фронта. Аналогичная закономерность наблюдается и при других явлениях дифракции. Например, на контуре, ограничивающем плоский круглый излучатель в бесконечном экране, звуковое давление вдвое меньше, чем на поверхности излучателя; на границе геометрической тени, возникающей при дифракции плоской волны на полуплоскости, звуковое давление вдвое меньше, чем в падающей волне. Из кривой 2 на рис. 3.4 следует, что при и = U2 ^28 отличие
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ГГЛ. 3
поля излучателя конечной длины от поля бесконечного излучателя не превосходит 10%, и им можно пренебречь. При этом условии длина цилиндрического фронта X2= 2Ь должна быть не меньше 16 зон Френеля и b/VW > 8.
Рассмотрим поле на краю оси полубесконечного фронта. Для полубесконечного фронта интеграл в формуле (30) можно вычислить точно. Для этого выразим х через R и, учитывая, что х = VR%—p, dx=R dRlVR2—f2> получим
