Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
этот контур проходит в направлении быстрейшего спуска. При движении по этому контуру в случае b < 1 модуль произведения подынтегральных экспонент сначала возрастает, а затем, после прохождения вертикальной линии Re t = 6, спадает. Чем дальше отстоит от единицы точка &, тем больше (Максимальное значение модуля, тем больше его вклад в интеграл и, следовательно, тем больше погрешность при вычислении. Именно это обстоятельство ограничивает применимость получаемых формул значениями, лежащими в окрестности единицы (при &<1). При &>1 модуль произведения подынтегральных экспонент всегда спадает вдоль контура C2, однако с ростом Ь контур C2 все более отклоняется от направления быстрейшего спуска. Поэтому ограничимся значениями Ь в окрестности единицы и найдем
Рис. 5 1.
Из (10)
_h(v) -і/я ГЗ-6 , h(— jt/4) 1 n9v
(12) получим окончательно
— -TV a {2b+ 4 +у2Ь$тУЧг
+
уеГ-ї-'+ті-і'-тШ" (,3>
причем ^ = a(2b—1)—я/4, а величины а и Ь определяются формулами (8).
5.1.2. Сферический фронт. Из (2) и (3) при и=п=0 получим выражение для поля в фокальной плоскости [42]:
1/2
ПІ
Hl
(2/.+ 1)!
^ (2« + 2),(S|)» W»+1» n + S+1)
(14)
172
ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ
ГГЛ. 5
При р->-0, когда фазовая аберрация исчезает (эгго соответствует очень малому углу раскрытия сходящегося волнового фронта), распределение P^l Pfo =* Ai(w) совпадает с функцией (3.2.5) для распределения звукового давлення в фокальной плоскости слабо сходящегося волнового фронта.
Вычислим теперь распределение звукового давления вдоль акустической оси. Для этого положим в формулах (2) и (3) % = О, п = 1; тогда
/ 2v_ v \ і у fip\n п\ ч,
х[л,№(})-ь(-1)|^(|)-х
Х/і-д(П+1, /1 + 5+ 1)]. (15)
При малых 0т, когда /?«0, <7«1, из (15) следует, что |/*аС)/Р/о I ~ IS1 (v/2) I; последнее выражение совпадает с формулой (3.2.3) для безаберрационнодч) длиннофокусного фронта.
§ 5.2. Влияние фазовой аберрации и неравномерности амплитуды на коэффициент усиления
В этом параграфе мы рассмотрим влияние фазовой аберрации и неравномерности распределения амплитуды по фронту на коэффициенты усиления звукового давления цилиндрического и сферического волновых фронтов.
Реальные звуковые фокусирующие системы обладают фазовой аберрацией и неравномерным распределением амплитуды по фронту. Учет одновременного действия этих факторов значительно отличает методы расчета звуковых фокусирующих систем от оптических. В последних, как правило, можно пренебречь неравномерностью распределения амплитуды по фронту*), но
*) Кроме специальных оптических систем, в которых применяется аподизация.
§52 ВЛИЯНИЕ АБГРРАЦЙИ НА КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ 173
необходимо учитывать влияние аберраций. В звуковых фокусирующих системах неравномерность распределения амплитуды — важный фактор, который может существенно ослабить или усилить влияние фазовой аберрации. Влияние фазовой аберрации и неравномерного распределения амплитуды по фронту применительно к сферическим фокусирующим системам рассматривалось в работе Тартаковского [12] для некоторых законов распределения амплитуды и фазы. В настоящем параграфе исследуется в общем виде совместное действие фазовой аберрации и неравномерного распределения амплитуды, причем одновременно для сферических И ЦП линдрических систем.
5.2.1. Коэффициент усиления. Полагая в (5.1.1) t = О, получим обобщенное выражение для коэффициента усиления —с учетом фазовой аберрации и неоднородности фронта — в интегральной форме:
л(х)(р*9)=|г
• (1)
Если волновой фронт однороден, то xYA(t) = 1 и
f h\pt(l-gt))dtK+i
(2)
Введем в (2) переменную u = qtt разложим h(x) в ряд и проинтегрируем ряд почленно; последнее возможно вследствие равномерной сходимости ряда. Тогда получим
A(x)(p,q)
х+1 у (jpyan (ч)
ІЙЛ ЯI п\
л= О
(3)
an(<7) = B(n + x+ 1, п f- 1)- J tn(\-t)n+*dt =
^В(л + х+ 1, п-Ь l)-[l-/g_i(n + x+ 1, л + 1)1, (4)
где /„-і (а, Ь) = B9-I (а, Ь) /В (a, b), B,_i(a, b) — неполная, а В (a, Ь) — полная бета-функции Эйлера.
174 ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ ГЛ. 5
Интегрируя, получим
Л i. -(HhD=V].
ln + 2 J
Gq(n,x)l (5)
(6)
Формула (6) справедлива при <7 < 1, <7 = 1 и <7 > 1. Однако при q < 1 целесообразнее пользоваться выражением
G4(U1 х) = + 1, /1+1),
в котором функция /g-і (а, 6) табулирована.
Для цилиндрического фронта х=—1/2, В (/г+ + 1/2, /г+1)=2я!(1/2)п/(3/2)2п. При р<1, q<\%ограничиваясь квадратичными членами, из (5) и (6) получим [43]
Для сферического фронта % = О, В(я+1, я+1) = = (п\)2/(2п + 1)!. При 1, когда G1(Ai, O)= 1, используя представления интегралов Френеля С (v) и S(v) в виде рядов, найдем
Рассмотрим теперь влияние на коэффициент усиления фазовой аберрации ср = ?/e/2. Из (2) и (1.3.61) следует, что
А™(р,ф~1-1р>(±-4ТЯ + ±4 (7)
A^4P,1) = V~{C^) + S^)]'\ (8)
Разлагая h{x) в ряд и интегрируя почленно, найдем
§ 5.2 ВЛИЯНИЕ АБЕРРАЦИИ НА КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ 175
Из (10) можно заключить, что коэффициент усиления зависит от ? сильнее, чем от 5. Это означает, что максимальное значение фазовой аберрации на волновом фронте должно влиять на коэффициент усиления в большей степени, чем закон изменения аберрации, определяемый в данном случае порядком фазовой аберрации.
