Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем свойство (I). Из (4.1.11) при р,==»0 получим связь коэффициентов усиления с эффективными углами раскрытия:
К™ = [kf(^f/2f+i Г"1 (X + 2). (3)
Если имеются два волновых фронта с коэффициентами усиления Кр\ и /Cp2, то, поскольку фронты эквивалентны, у них должны быть одинаковы фокусные расстояния: її ='/2, длины волн: %і = %2 — и эффективные углы раскрытия: (0^ = (02^. Тогда из (3) следует, что как для цилиндрического,, так и для сферического фронта Кр\ =¦
= Кр2-
Несколько сложнее доказывается свойство (И). Пусть заданы неоднородный волновой фронт, поле которого в фокальной области описывается формулой
PlPt = Лк+и-i (w), w=> kyQ&my (4)
и эквивалентный ему однородный волновой фронт, поле которого описывается формулой
pip, = A1(W^l ш(э) = ^э)а>?>. (5)
Свойство (II) будет доказано, если мы докажем, что значения аргументов функций (4) и (5), при которых функции первый раз обращаются в нуль, будут близкими. Обозначим корни уравнения Л*(до)=0 через /<>п, причем і— порядок ламбда-функции, а п — номер ее корня. Отношения первых корней этого уравнения, когда
164 КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ, ФАКТОРЫ ФОКУСИРОВКИ [ГЛ. 4
(6)
в него подставлены функции (4) и (5), равно ''о, І
Учитывая (2), из (6) найдем *Уо.
Для цилиндрического фронта положим в (7) значения к = —1/2, /?,і = я; тогда
_ Ь+м-1.1 [Г (и + 2) Г (ц + 1)Г/2(* И)
/1.1 L Г (X + ft + 2) J * \ і
і »ЩА Г(ц+1)
19\
**Шоо 2V* г('1 1 3/2)'
(8)
Для сферического фронта положим в (7) значения к = О, /Li = 3,8; тогда
[SiL=^+"-"2- (9)
На рис. 4.3 показаны графики функций {kyoti/ky^\)H при и = 0 и X = —1/2, из которых видно, что при —0,4 < pi < 5 отношение U#o,i/?#o?i)k отличаются от единицы не более чем на 10%, поэтому уол<=&У^}, что и доказывает свойство (II). Значения корней /м+і,і можно определить по таблицам.
Свойство (III) является следствием свойства (II) и монотонности ламбда-функций в пределах главного максимума. Действительно, если ламбда-функции при нулевом аргументе равны единице, имеют близкие значения аргументов в нуле [свойство (II)] и монотонны в пределах главного максимума, то они должны быть близкими.
Последнее доказательство является качественным и не определяет количественно степень близости функций распределения эквивалентных волновых фронтов. Поэтому на рис. 4.4 для примера приведены графики функции, построенных по формулам (4) и (5), когда соотношение между углами сош и определяется формулой (6). Прерывистые кривые 2 и 4 построены по формуле (4) при v = K + n+ l= 2 (кривая 2) и v = 7 (кривая 4).
* 4 3J
эффективный угол раскрытия фронта
165
I і I v \ * I ?
\' ¦-1/Zy vi * і T
I I і
I I I I
Сплошные кривые 1 и 3 построены по формуле (5), в которой эквивалентный угол в аргументе функции определен при помощи формулы (6). Из графиков видно, что совпадение .между функциями (5) (сПЛОШНЫе ЛИ- (tyofr/ty$)(x)
нии) и (4) (прерывистые 1,2 линии) особенно хорошее вблизи максимума /,/ и наиболее отличается (до 20—25%) в середине ин- 1,0 тервала [0, /к+іч-ід].
Для сферического O1O фронта, у которого зависимость степени неравно- о,8 мерности \х от среднего -0,50 2 4 5 6,3 10 значения функции распре- /*
деления S(O выражает- рис 43#
ся простой формулой
(1.3.49), соотношения .между ламбда-функциями (4) и (5) особенно наглядны: Ai/s^o^m^Ai(а^э)о)(э)).По-0 величина S(c)-)-1, аш^-но^то приближенное равенство выполняется тем точнее, чем равномернее распределена амплитуда по фронту.
4.3.2. Методы расчета параметров поля и его распределе-ния в фокальной плоскости.
Щ-гл 4J \ *|-1 Нам удалось установить связь
между степенью неравномерности волнового фронта р; и отношением эффективного и реального углов раскрытия волнового фронта OmVo)m. На & рис. 4.5 показана эта зависимость, причем сплошные линии построены по формуле (2), а прерывистые — по формуле (6). Мы видим, что при \i>— 0,1 расхождение между сплошными и прерывистыми кривыми не превосходит 7%. Это показывает, что эффективные углы раскрытия
скольку при р,-
\ , \ \ V * Л N
к
\\ v > ч \ >
S1O
Рис. 4.4.
10
166 КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ, ФАКТОРЫ ФОКУСИРОВКИ 1ГЛ 4
сходящихся волновых фронтов можно определять не только при помощи среднего значения функции распределения на волновом фронте, но и по ширине окрестности фокуса в фокальной плоскости.
Из формул (4.1.14) и (2) следует выражение
к™ - к$ (<A>TO)2(*+1\
(10)
из которого видно, что эффективный угол раскрытия можно определить, измерив коэффициент усиления звукового давления.
1,0
С
4 0 1 J
Рис. 4.5.
Через эффективный угол раскрытия волнового фронта очень просто выражается фактор фокусировки звукового давления:
^) = („/^>)"8іп2'<+1((0зд =
при х = — 1/2, V2) при х = 0. Учитывая (2), из (11) получим
*?°ЧотГ([г+ \)12УпТ(р + Щ\'г, J 4С) = sin ((о J2 V?+l) ~ «V2 У?+1. ]
(H)
(12)
ГЛАВА 5
ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ И ФОКУСИРОВАНИЕ В ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ
