Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. 3 были рассмотрены поля волновых фронтов в идеальном случае, когда отсутствует фазовая аберрация и нет диссипации энергии волн в среде. В настоящей главе мы рассмотрим влияние этих факторов на полученные результаты. Учет совместного влияния обоих факторов хотя и возможен, но сопряжен со значительными вычислительными трудностями и чрезмерной громоздкостью получаемых математических выражений. Поэтому мы рассмотрим отдельно влияние фазовой аберрации и влияние диссипации энергии в среде на распределение звукового давления в фокальной области.
§ 5.1. Влияние фазовой аберрации на распределение поля
В оптике рассмотрено влияние малой фазовой аберрации на поле в фокальной области при помощи дифракционной теории аберраций Нижбойера и Цернике [26]. В акустике такие исследования не проводились. В настоящей главе будет вычислено поле в фокальной области сходящихся волновых фронтов с фазовой аберрацией четвертого порядка, причем величина аберрации может быть произвольной. Вычисления проведены при помощи формул Дебая, в которых из-за сложности расчетов пришлось ограничиться малыми углами и заменить тригонометрические функции их аргументами. Несмотря на это ограничение, результаты расчета приме-
168 ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ ГГЛ. 5
" {-IpIq)*
~ voAvn+i)ha«w +
(4)
нимы для исследования многих фокусирующих устройств, что будет показано во II части книги.
Воспользуемся функцией распределения фазы <р(/) в виде (1.3.60) и введем ее в обобщенную формулу Дебая (3.5.20) при условии, что угол раскрытия фронта мал, так что
Йп ~ 4~no)l t0«tx ж t = (co/(ow)2.
Тогда
і
- j h \pt (1 - qt)\ VA (/) Mt) dt**\ (1)
'Vo о
где Pf0 = P0KpSh (—• a(H) — pn) — звуковое давление в фокусе однородного фронта, a{it)=kf— (х+1)я/2, /Cp? — коэффициент усиления однородного фронта (4.1.7), а «Л — обобщенная гипергеометрическая функция. Рассмотрим однородный волновой фронт, у которого
Воспользовавшись разложениями в ряды для функций h(x) и «/7I(X)8 представим (1) в виде
к=,IoЇ(Н+"У~'І4Я_1 ('ы)2""г /e'ft (2)
где
1
/MM = JoOMI-^)'«11+1. (3)л
5.1.1. Цилиндрический фронт. Положив в (2) и (3) значения н=—1/2, п=0, получим выражение для поля в фокальной плоскости цилиндрического фронта, приведенное в работе [41]:
§ 5.1J ВЛИЯНИЕ АБЕРРАЦИИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ 169
(5)
где iFi — вырожденная гипергеометрическая функция. При р-+0
р^ИМш "41 =VlIiC(v)-isті (6)
причем (6) совпадает с выражением для распределения звукового поля вдоль акустической оси слабо сходящегося цилиндрического фронта (3.1.5). Вычисление с помощью ряда (5) сопряжено с большими трудностями; поэтому для достаточно малых аберраций р и значений аргумента v напишем выражение для распределения поля вдоль акустической оси, ограничиваясь квадратичными членами по р и v:
?-'-ї(і"-і»+4-Мт»-т)- т
«=№ Ь-І%И. (8)
где
, . V (п\ (-1)'(я+1). д fw\
-?і(_а,а/4)* П; 1/2-н — k; (q-\)/q]
^И=2о1ГТЇ72)7^и+2 J-
При р -^0, когда фазовая аберрация исчезает (это соответствует очень малому углу раскрытия сходящегося волнового фронта), распределение (4) описывается функцией P^VPf0 = $і(ку0ат), которая совпадает с функцией распределения давлений в фокальной плоскости цилиндрического волнового фронта с малым углом раскрытия (3.1.4).
Рассчитаем теперь распределение поля вдоль акустической оси. Полагая в формулах (2) и (3) /1=1, X = —1/2, получим
РЇп) і yPQ/2)» p{n+l/2> ,
Pfo ~ Vi Д q (3/2>* 11L2" + 8/8 J +
170
ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ
ГГЛ. 5
Для больших значений р и v получим разложение интеграла (1) по обратным степеням а и 6. Для этого представим его в виде
і
*Р—±\н1аГ®]Г"<и, (9)
/о '0
где t= (a/am)2, f(t) =2bt—t2, а и Ь определяются формулами (8), и перейдем к интегрированию на плоскости комплексного переменного /. Подынтегральная функция является однозначной аналитической функцией на всей плоскости с разрезом вдоль действительной положительной полуоси. Точка t = 0 является точкой ветвления, точка t-=b — точкой перевала. Вычисление интеграла (9) при малых значениях Ь связано с математическими трудностями, обусловленными близостью точки ветвления и точки перевала и отмеченными в монографии Бре-ховских [20], § 22, п. 3. При вычислении мы ограничимся случаем, когда величина Ь близка к единице, что позволит получить приближенное выражение для распределения поля вдоль акустической оси, справедливое только в области первого минимума и первого побочного дифракционного максимума. Контур интегрирования показан на рис. 5.1. Из теоремы Коши об интегрировании аналитической функции по замкнутому контуру следует, что
J+J+1+ J - °-
Ct Ct і Cp
Можно показать, что предел последнего интеграла при р->0 равен нулю, поэтому
2ріц)/Р/0 = /і + /2, (10)
где 1\ и І2 — интегралы по контурам Ci и C2 соответственно. Вычисляя интеграл 1\ при Ь К 1 и a ^ 6, когда погрешность не превосходит 3%, получим
'.-ь:(т)У1/2- <»>
Вычислим /2. Контур C2 проходит через точку t2 = 1 в направлении а = Зя/4. В том случае, когда Ъ = 1,
§ 5.1] ВЛИЯНИЕ АБЕРРАЦИИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИ І7І
