Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Каневский И.Н. -> "Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн" -> 48

Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.

Каневский И.Н. Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн. Под редакцией Петруница Н.А. — М.: Наука, 1977. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): fokusirovaniezvukvoln1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 94 >> Следующая

Рассмотрим сферический фронт, когда % = 0. Если 5 = 1, то из (10) следует
А[° (?) = ?~2[ 1 - 2s1 (?) -I- s? (?/2)]. (11)
Если s = 2, то из (10) следует, что
4c)(?) = |sx(?/2)|. (12)
Если 5 = 4, то из (10) и определения интегралов Френеля с помощью рядэв найдем
4С) (?) = / § [С2 (?) + S2 (?)lV2. (13)
Это выражение при ? = р/4 совпадает с формулой (8), описывающей зависимость Л(с)((ї) от двух аберраций — 2-го и 4-го порядков, существующих одновременно. Если 5 = 3 или 5, то из (10) следует, что
^Нл[?+'*гЛ <,4>
4° (W-I Л Р'-"]!- (15)
Формулы (11) — (15) впервые были получены Мак-Элвери и Смержинским в работе [44].
При достаточно малых значениях ?^2 в (10) можно ограничиться квадратичными членами, так что
4M)(?)«l-ftoo(s)?\ (16)
где
^М-^ + ттгГ-^ + їТППоП- (17)
Величину b(x) (s) мы назовем коэффициентом фазовой аберрации, поскольку при малых ? эта величина определяет зависимость коэффициента усиления от
176 ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ [|*Л. 5
s 1 2 3 4 і б і
х=-0 0,028 0,042 0,045 0,045 0,043
х=~1/2 0,042 0,045 0,040 0,036 0,032
Как видим, b(x)(s) изменяется значительнее в цилиндрическом случае (х = --1/2) и мало меняется в сферическом случае (и = 0), за исключением значения s=l, когда 6o(s) заметно уменьшается. Отсюда следует, что цилиндрические волновые фронты к закону изменения фазовой аберрации более чувствительны, чем сферические фронты.
5.2.2. Зависимость аберрации от распределения амплитуды по фронту. Обобщим понятие среднеквадратичной фазовой аберрации на случай неравномерного распределения амплитуды по сходящемуся волновому фронту. Для этого вычислим коэффициент усиления Kp волнового фронта при наличии фазовой аберрации ср(/) и неравномерного распределения амплитуды по фронту 4TA(t) с помощью формулы (1). Квадрат величины АЫ), определяемой формулой (1), характеризует интенсивность в фокусе аберрационного фронта пэ сравнению с безаберрационным фронтом и представляет обобщение известного в оптике отношения Стреля [26] на случай неравномерного распределения амплитуды по фронту. Тогда
А2 = 1-?0, (18)
где Eo — среднеквадратичная фазовая аберрация при неравномерном распределении амплитуды. Вычислим значение Eo. Для этого так же, как и при выводе формулы (1.3.52), подынтегральную экспоненту в выражении (1) разложим в ряд*), ограничиваясь квадратичными чле-
*) При этом полагаем для краткости pt(\—<70=ф(0-
аберрации. Значения b(x)(s) для различных порядков аберраций s у сферического (к = 0) и цилиндрического (и = —1/2) фронтов вычислены по формуле (1() и приведены ниже: *
§5 2] ВЛИЯНИЕ АБЕРРАЦИИ НА КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ 177
нами, выполним почленное интегрирование и введем нормированное среднее значение функции в виде
<^(/)> = |j/4F(O^j= Jл*+1. (19)
Тогда получим выражение для обобщенной среднеквадратичной фазовой аберрации
^0=<ф2гіг><гіг)-і_(фі1/>2<гІ/>-2ї (20)
которое при равномерном распределении амплитуды (W = 1) совпадает с выражением (1.3.52).
Вычислим Eo1 когда W(t) имеет вид (1.3.38), а ф(0 —вид (1.3.61). Подставляя последние выражения в (20) и учитывая соотношения (19) и (18), найдем [45]
4Н) = 1 - Ё012 = 1 - 6(н) (Ц, S) ?2, (21)
I Г(х + «+1) Г (х-| ti + 2)H(x + g/2+l)1 , ~
Л[Г(х + 5+^ + 2) г(х+1)Г»(х + в/2+М 2) J* W
Так же, как и в формуле (16), величина, на которую уменьшается отношение коэффициентов усиления, равна произведению коэффициента аберрации b{yi)(\i, s) на квадрат максимального значения фазовой аберрации. По формуле (22) построены рельефы коэффициента аберрации для цилиндрического фронта (рис. 5.2, а) и для сферического фронта (рис. 5.2,6). Из рассмотрения рельефов следует, что при S-»-0 и s->oo коэффициент 6(х)(ц, s)-+0t и фазовая аберрация в этих случаях не влияет на поле в фокусе сферического или цилиндрического фронта при любых jut, т. е.'не зависит от вида распределения амплитуды по фронту.
При s < 1 одинаковая величина фазовой аберрации сильнее влияет на поле цилиндрического фронта, чем на пэле сферического фронта, независимо от вида распределения амплитуды но фронту. Причина заключается в том, что фазовая аберрация существенно меняется лишь в параксиальной зоне, вблизи вершины фронта,
§ 5.2J ВЛИЯНИЕ АБЕРРАЦИИ HA КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ 179
где изменение амплитуды незначительно, причем вклад этой зоны, пропорциональный для цилиндрического фронта величине dco, а для сферического фронта величине sin о) do), будет в первом случае выше, чем во втором.
При s > 2,5 картина противоположная: фазовая аберрация сильнее влияет на поле сферического фронта, при этом существенно сказывается неравномерность распределения амплитуды. В данном случае отличие от поля безаберрационного фронта обусловлено действием краевых зон, которые для сферического фронта имеют больший удельный вес, чем для цилиндрического. При этом увеличение неравномерности распределения амплитуды, спадающей к краю фронта, ослабляет влияние фазовой аберрации.
Для обоих типов фронтов существуют экстремальные значения &(х)(р., s), при которых влияние фазовой аберрации максимально. Интересно, что для сферического фронта при равномерном распределении амплитуды максимум коэффициента аберрации b{e)(0, s) выражен крайне слабо. Этот вывод объясняет результаты работы [44]: коэффициент усиления сферического фронта с равномерным распределением амплитуды при увеличении аберрации снижается практически одинаково для s = 2, 3, 4 и 5. Как видно из рис. 5.2, б, при jut = 0 и 2 ^ s ^ 5 должны получиться близкие результаты, поэтому в указанном интервале достаточно вычислить спад усиления при одном каком-либэ значении s, а другие значения целесообразно брать при s < 2. Этот же вывод следует из табличных данных на стр. 182.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed