Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
5.2.3. Физический смысл критерия Рэлея. Рассмотрим теперь связь между размерами фокальной области безаберрационного фронта, допустимой величиной фазовой аберрации и геометрическими характеристиками лучей, являющихся нормалями к поверхности волнового фронта. Такое рассмотрение позволит установить связь между распределениями поля в окрестности фокуса, полученными в волновом и геометрическом приближении, и выяснить физический смысл критерия Рэлея, определяющего допустимую величину аберрации.
Для характеристики сходящихся лучей аберрационного фронта найдем уравнение каустики, т. е. огибающей семейства сходящихся лучей. Для этого составим уравнение семейства лучей в безразмерных координатах в фокальной области: в фокальной плоскости w—kyo(i>mt вдоль акустической оси v=kz0(d2/2. Используя связь между фазовой <р, волновой А и лучевой продольной oS аберрациями Л = <p/&, 6S = аг^ДюД/ю и вводя координату и = o/o)m вдоль волнового фройта, найдем
V8 = k 8S о?/2> <p' (и)12и. (32)
Тогда уравнение семейства сходящихся лучей, имеющее в физических координатах (у, z) вид у = (z — —«65) о), в безразмерных координатах — с учетом (32) — примет вид
W- 2vu + y'(u) = 0.
(33)
184
ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ [ГЛ. 5
После исключения и из (33) и из выражения
fulw-2vu + q>'(u)]^0 (34)
можно найти уравнение каустики. Для исключения и надо задать конкретный вид функции фазовой аберрации ц)(и). Пусть фазовая аберрация меняется по закону (1.3.61): ф(и)=—$ич; тогда решение системы (33) — (34) имеет вид
w(v) = 2(s—2) (s—\)-l[2/s(s—i)?]i/(«-»t><-i>'<-«.
(35)
Если [і =0, 5 = 4, а точка наблюдения расположена в волновом фокусе, то из (21) и (26) следует, что
где
?,-?[(x + 2)/(x + 4)]»
— максимальное значение фазовой аберрации относительно поверхности сравнения с центром в волновом фокусе. В сферическом случае ?(c) = 2?/(), а в цилиндрическом ?(u)« 2,33?/4). Это означает, что максимальное значение фазовой аберрации ? относительно поверхности сравнения с центром в параксиальном фокусе значительно больше — в 2 и 2,33 раза,— чем максимальное значение фазовой аберрации ?, относительно поверхности сравнения с центром в волновом фокусе. В последнем случае уравнение каустики, полученное из формул (33) — (35), имеет вид
4 и-|- 2Г |0и + 4п ТЗ/2
w==^vwf^[-v+2^f\' (36)
Определим допустимые значения максимума фазовой аберрации ?/. Полагая допустимый спад интенсивности в фокусе не более 20% от интенсивности безаберраци-ониого фронта, получим Л2 ^ 0,8; тогда из (21), (28) и (29) найдем, что для сферического фронта ?/c^l,57, а для цилиндрического ?/4^l,l. Допуск ?/c^l,57=^/2 выражает известный критерий Рэлея, который, как
§ 5.2] ВЛИЯНИЕ АБЕРРАЦИИ НА КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ 185
мы видим, к цилиндрическому фронту неприменим, ибо у последнего допуск более жесткий: ?/ц ^ 0,7?/c.
На рис. 5.5, а и б показаны ход лучей и каустики К, построенные по формуле (36) при ?/c = 1,57, х = 0 и ?/4= 1,1, к = —1/2 соответственно. Лучи и каустики дают представление о поле в фокальной области в геометрическом приближении. В волновом приближении сечение фокальной области осевой плоскостью представляет эллипс (w/wo, i)2+(Wuo,i)2'=l» где w§{ = 3,83, MS = я, і>од = 2я, Vo^l = 5,75 — размеры окрестности фокуса в фокальной плоскости п по акустической оси
Рис. 5.5.
для сферического и цилиндрического фронтов. Эллипсы показаны на рис. 5.5 для сферического (а) и цилиндрического (б) фронтов. Этот рисунок дает наглядную геометрическую трактовку критерия Рэлея: если аберрация не превышает допустимой величины, то каустическая поверхность проходит фокальную область только внутри окрестности фокуса безаберрационного фронта, и поэтому фазовая аберрация не вызывает заметного размытия фокального пятна или фокальной полосы.
186 ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ С ФАЗОВОЙ АБЕРРАЦИЕЙ ІГЛ. 5
§ 5.3. Учет диссипации энергии в среде
Выше мы рассматривали фокусирование звуковых волн, предполагая, что сходящийся волновой фронт образован в идеальной среде, в которой поглощение отсутствует. Поскольку в реальных средах всегда имеется поглощение, возникает необходимость рассмотреть его влияние на процесс фокусирования. Мы рассмотрим сначала случай «линейного» поглощения, когда нелинейные эффекты играют незначительную роль, а коэффициент поглощения f пропорционален квадрату частоты (обратно пропорционален квадрату длины волны): ^ = Ыг2 (ft — постоянная, характеризующая свойства среды). Эта зависимость выполняется для подавляющего большинства жидкостей.
Фокусирование сферических волн в поглощающих средах впервые рассмотрел Губанов [48], установивший существование оптимальной частоты, при которой усиление фокусирующей системы максимально. Аналогичный результат для цилиндрических волн впервые приведен Розенбергом [40]. В наших обозначениях оптимальная длина волны равна XoVt = 2~*l/bf (f—фокусное расстояние, к = —1/2 и х = 0 для цилиндрического и сферического волновых фронтов соответственно). Существование A,0Pt объясняется тем обстоятельством, что с уменьшением длины волны X одновременно возрастают коэффициенты как усиления, тж и поглощения, причем при Л > Kopt преобладает процесс концентрации, а при X<.X0j>t — процесс диссипации энергии.
