Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
виде
то для коэффициента Холла ?lx'y'z' отсутствует зависимость от угла 7.
Решение. Преобразование системы координат (x,y,z) ->¦
(x',y',z') связано с вращением системы (x,y,z) вокруг оси z на угол 7.
Это преобразование задается матрицей
При этом общее преобразование тензора (а, /3,5 = х, у, z) состоит в
следующем:
(a, f3,S = х, у, z; а', [3', S' = х', у', z').
Следовательно, с учетом матрицы коэффициентов Холла для висмута в системе
(ж,у, z) находим
О ^xyz О
^xyz О О
О 0 0
tia'P'S' - naianf3ipngigQaf3/j
Поскольку справедливо
то Q,yxz = -ftxyz. В итоге легко найти
•yxz -
^x'y'z' - Qxyz(cOS 7 "Ь Sin 7) - ^xyzi
что и составляет искомый результат.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системах73
59. Записать законы Онзагера для электропроводности анизотропного
кристалла в главных осях (х', у', z') тензора электрической проводимости
аар (а,Р = x,y,z), если в произвольной декартовой системе координат (ж,
у, z) этот тензор задан в виде
60. Вращающаяся с угловой скоростью (ш изотермическая п-компонентная
система с произвольной анизотропией находится в состоянии механического
равновесия. Считать, что в системе существенны лишь процессы диффузии в
отсутствие всех внешних полей, кроме центробежных, и справедлива теорема
Пригожина (задача 23). При этом выражение диссипативной функции
представляется в следующей частной форме общего выражения (1.14):
где vj - парциальный удельный объем; - поток j-го компонента в
произвольной характеристической системе скоростей отсчета
va = ^2 apVp\ ар - весовой множитель скорости fc-ro компонента. к=1
Учитывая наличие связей в системе потоков и сил в форме
Ответ.
1Х> = 25 х И)~7Ех,а, 1у' = 16 х 10~7Еу'а, Iz, = 4 х 10~7Ez,a.
П
1=1
xj = (! - Pvj)(^r + 2["w]) - (V/x)r,p,
П
П
n
E?J*=0' EcHV^)r,P = 0,
7"_1 Ck 7._1
n
E Cfc(1 " PVk) =
k=l
74
Глава 2
где первая связь следует из определения диффузионного потока в
произвольной характеристической системе скоростей отсчета, вторая есть
соотношение Гиббса - Дюгема, а третья - тождество, рассмат-
П П
риваемое как следствие тождеств ^ = 1, Pkvk = 15 преобразо-
к=1 к=1
вать выражение диссипативной функции к представлению, содержащему только
независимые потоки и силы, и сформулировать законы Онзагера.
Ответ.
П - 1
fc=l
71 - 1
Jk='?Lkixt (fc = 1,2,..., n - 1)
7=1
П-1 x x
X? = ? t7y + {(1 - р"л-)(о;2г + 2M) - (VW)T,p}
. 1 V tin Ci /
j=l 4 /
(* = 1, 2,..., n - 1).
61. Записать соотношения Онзагера - Казимира для компонент тензора
феноменологических коэффициентов Lkj (k,j = 1,2, -
1), описывающих изотермическую диффузию во вращающейся п-компонентной
анизотропной системе (см. задачу 60). Рассмотреть частный вид тензора
Lkj(k,j = 1,2) для системы, в которой ось вращения совпадает с осью z,
причем сама система изотропна в отсутствие вращения (ш = 0). Показать,
учитывая свойства симметрии системы и соотношения Онзагера - Казимира,
что число независимых феноменологических коэффициентов тензора L/.j(k,j =
1,2) равно девяти.
Решение. Общие соотношения Онзагера - Казимира для тензора Lkj (k,j =
1,2,..., n -1), в случае среды с произвольной анизотропией представлены
выражением (2.10):
Lkj(oj) = Lhj{-w) (k,j = l,2,...,n-l),
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системах75
причем для симметричной
Lkj = + Lkj) (к, j = 1,2,..., п - 1)
и антисимметричной
L%j = 2 №kj ~ Lki)
частей тензора Lkj справедливы альтернативные соотношения L'kj(u) = Цк(-
Ш) Lakj(u>) = -Lakj(-u)
(k,j = l,2,...,n- 1),
а для изотропной среды при и) = О
Lkj - LkjU {k,j - l,2,...,n - 1).
Однако в условиях вращения w / 0 в системе (изотропной при ш = 0)
возникают тангенциальные потоки компонентов, обусловленные силой
Кориолиса. Чтобы в этом случае выяснить структуру тензора Lkj (k,j =
1,2,... ,n - 1), необходимо потоки и силы, входящие в выражение
диссипативной функции (см. ответ к задаче 60), разложить на декартовы
составляющие и сформулировать для каждой отдельной составляющей законы
Онзагера. В случае трехкомпонентной системы (п = 3;k,j = 1,2) возникает
следующая форма диссипативной функции:
Ф - Jlx-^-lx "Ь JlyXly JlzX\z J2z^2z "Ь LlyX-2y ^2х^2х ф- О5
76
Глава 2
и феноменологических уравнений:
Jlx = Ц *Х1х + ЬЦХ1у + ЬЦХ1х + ЩХ2х + ь%х2у + щх2й,
т ТУХ Y _l ТУУ Y I тyz Y -j-TyxY j- ТУУ Y j_TyzY
J\y - Jj^yL\x 2^1-^-lj/ ±/-^2-^-2(r) "Г .L/]_2 2j/ "r -ki2-^-2z?
Jl, = + Li\X± y + L\\Xiz + L12X2X + ^2X21, + L12X2Z,
¦h,- = Ц?Х1х + Lx2fXly + L%{Xlz + L%%X2x + L%X2v + ЩХ2й,
T TVXY tWy TVzY _l TVXY ТУУ V _L TVZY
J2y - i-/2i^l# "r -^21 12/ "r" 21 -^-12 "Г ^22 2(r) ^22 2j/ "r .L/22 2z?
J2z = L?fXlie + X*fX1?/ + x-xlz + ?^Х2ж + i*"X2" + L|?X2*.
В этой системе уравнений имеется 36 феноменологических коэффициентов,
причем в случае n-компонентной системы число коэффициентов будет равно
9(n - I)2.
Если ввести тензоры
щ ЬЦ т xz L11
ЬЦ Lft ТУ* L11
т zx Ь11 Lit T zz Ь11
т хх Ь21 тху Ь21 т xz Jj21
тУХ 21 тУУ 21 тУz 21
