Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
ПМ^ + -М^1 + --)=7а, а. А.
к q рмг
79. Система, представляющая собой полупространство, заполненное твердым
телом с постоянной теплопроводностью Л и теплоемкостью х, плавится под
действием заданного теплового потока Jq. Считается, что расплавленное
вещество при этом мгновенно удаляется, а тепловой поток непосредственно
подводится к границе плавления. Используя принцип Био (2.32) - (2.34),
найти закон движения границы плавления в глубь вещества, принимая
распределение температур в твердом теле в виде линейной зависимости Т =
Тк ^1 - х > гДе Тк - температура плавления, qi(t) - глу-
бина плавления тела, q(t) - глубина проникновения в тело теплового
фронта, х - координата по глубине тела, t - время.
Указание. В качестве обобщенной координаты выбрать функцию q(t). Глубина
плавления qi(t), должна определяться из дополнительного условия -
энергетического баланса вида
Jq = (Q + xpTk)qi + Tkxpq/A = const,
где Q - теплота плавления, р - плотность, х - теплоемкость.
Ответ. Кинетика плавления твердого тела qi(t) находится из совместного
решения двух дифференциальных уравнений:
(q + ^qi^J q = а, Mqi + Nq = const,
где
a=-, M = Q + xpTk, N = \pxTk. x p 4
98
Глава 2
80. Построить законы, описывающие кинетику фазового превращения (фаза'
-> фаза") в бинарной (А-В) прерывной системе при стационарном режиме
роста. Использовать вариационный принцип Онзагера (2.15).
Решение. Пусть v - скорость движения фазовой границы, а с'Л, с'А, с'в,
с'в, /х'л, /х^, fi'B, ii"B - концентрации и химические потенциалы
компонентов в фазе'и фазе", причем с'А + сА = с'в + с'в = 1; тогда
диссипативная функция Ф, обусловленная массопереносом при фазовом
превращении в бинарной системе, имеет вид (1.16):
Ф=Т? = ? dtmM - М =
г=А,В
= dtm'A{nA ~ Мл) ~ dtm'B(fj,g - ц'в) ^ 0.
Введем обозначения потоков "7* и термодинамических сил Ащ :
JA = dtm'A = vAmd,t?, vA = ~cA/c'A, mdt(, = v,
Jb = dtm!B = vBmdt?, vb = -cb/c'b,
afiA = Мл - (J,A, AfiB = Mb - Mb:
с учетом которых диссипативная функция системы преобразуется к форме Ф =
JAAfiA + "ТвАмв ^ 0.
Запишем, далее, энергетический потенциал рассеяния G* в представлении
термодинамических сил:
G* = 5 X) LijAfiiAfij = \Laa{Aiia)2-st
i,j=A,B
~\~\LabA^aA^b + \LbaA^ibA^a + \Lbb{A^ib)2 0.
Подставляя эти результаты в вариационное условие Онзагера - Дьярмати
(2.15) и варьируя по термодинамическим силам при посто-
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах99
янстве потоков, легко найти
= Та ~ Laa(A-ha) ~ \Lab&-Vb ~ \lBaAhb^ S(pa)+
+ (Jb - Lbb(A-hb) ~ \Lab&-^a - \lBaAha^ S(pb) Ф 0.
В силу произвольности вариаций <$(Д/х*) ф 0 последнее условие
эквивалентно системе уравнений Онзагера
vc'A = -Ьаас'а(А^а) ~ Labc'a^IJ-b,
vcB = -ЬВас'в(Аца) ~ Ьввс'вАцв и соотношениям взаимности
Lab = Lba-
Кроме того, Laa Ф 0,Ьвв Ф 0, LaaLbb - L2AB ф 0, поскольку G* ф 0.
Примечание. Эти линейные законы Онзагера определяют на плоскости
температура-концентрация совокупность двух линий, указывающих составы
сосуществующих фаз при фиксированной скорости роста и составляющих
кинетическую диаграмму фазового превращения бинарной системы в условиях,
близких к равновесным. Кинетические диаграммы бинарных сплавов в форме
линейных законов впервые были получены Борисовым [21].
81. Используя решение задачи 80, построить линейные законы Онзагера,
описывающие фазовое превращение в частном случае идеальных бинарных
растворов. Пренебречь перекрестными эффектами, считая Lab = 0- Результаты
обсудить с позиций влияния скорости роста на составы сосуществующих фаз.
100
Глава 2
Указание. Химический потенциал компонента г фазы есть /х; = hi -TSi, где
hi, Si - парциальные энтальпия и энтропия компонента г; г = А,В. В случае
идеальных растворов
Sa = -R 1пс^4, Sb = -R Inсв, hA = hs = 0.
Qa,Qb,Ta,Tb - теплоты и температуры фазового перехода чистых компонентов
А, В.
82. Решить задачу 81 в приближении регулярных бинарных растворов.
Сделать вывод о поведении линий двухфазного равновесия в зависимости от
скорости фазового превращения.
Указание. Для регулярных растворов справедливо
где Та, Qa - температура и теплота фазового перехода чистого компонента
A; hCM - теплота смешения сплава.
Ответ.
"(1 - с") = ЬАА( 1 - с'в) |RT ln}^| + Qa (i - } ,
vcb = Lbbc'b ln^ + Qb ^1 - T^j } '
S'A = -R ln(l - c'B), S'i = -R ln(l - c"),
Ответ.
- с'в) = Laa(1 - с'в) {c'bKm - с"2вКж+
vcVB = LBBc'B {(1 - c'B)2h'CM - (1 - c^)2h^M+
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системахЮ!
83. Рассмотреть термодинамическую систему, в которой осуществляется
процесс последовательной кристаллизации бинарного сплава,
характеризующейся наличием развитой (дендритной) фазовой границы.
Используя интегральный вариационный принцип Дьярмати
(2.29), построить систему уравнений переноса энергии, массы и импульса в
области двухфазного состояния системы, представляющего собой совокупность
растущих кристаллов-дендритов и окружающей жидкости. Считать, что в
