Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
системах&9 В случае системы центра масс va = v, ак = ск и справедлива
п
связь между потоками в форме ^2 Jk = 0. Используя ее, исключим
к=1
из выражения диссипативной функции n-ый поток; тогда
п- 1
Ф - ^ ' Jk (f^k Нп) Ф- 0*
к=1
Потенциал рассеяния в представлении термодинамических сил (2.4) есть
^ п- 1
G* = - ^2 LikV(pii - pi") -V(pik- Нп) Ф 0.
i,k=1
Принцип Дьярмати утверждает, что функционал
J(ip- G*)dV = max v
имеет экстремум при варьировании по параметрам -(piк ~ Мп)
термодинамических сил при постоянстве потоков Jp. :
п - 1
6/(ф - G*)dV = SfZ(pik- pin)Jk • dtl-
V П k=1
( П- 1
(5/ S ^2 (ftk /i")V * Jk~\~ V I k=1
1 n_1 )
+ 2 S ЦкУ^г ~ Hn) * V(//A - /in) MV = i,A=l J
Г n-1
= { ? рСк(Ик~ A*n) +
v Ia=i
i n_1 1
+ 2 S ЦкУ^г ~ l*n) * V(//A - /in) )dV = 0. i,A=l J
При этих преобразованиях считалось, что варьирование вдоль 12 границы
системы не производится и справедлив баланс массы fc-ro
90
Глава 2
компонента в виде ptk = -V • Jk (см. (2.1)). Подынтегральное выражение
последнего вариационного условия есть термодинамическая плотность
лагранжиана в энергетическом представлении для системы с концентрационной
диффузией.
В соответствии с принципом Дьярмати варьирование осуществляется по
параметрам S(p,n - р,/.) ф 0 при SJk = S(pCk) = 0. Экстремум функционала
реализуют уравнения Эйлера - Лагранжа (2.30):
п - 1
ptk-'Y^V ¦ L*ki(pi - рп) = 0 (к = 1,2,..., п - 1),
к=1
эквивалентные уравнениям Фика для многокомпонентных изотермических
систем.
71. Построить уравнения неизотормической диффузии для бинарной среды в
системе центра масс, используя вариационный принцип Дьярмати (2.29).
Ответ.
рС2 = V • L22V (>2 ~^) - V • L2QV (i), рхТ = V • Lq2V - V •
LqqV (i),
Lq2 = L2Q, к - теплоемкость.
72. Показать на примере диффузии в бинарной системе, что вариационный
принцип Циглера (2.28) в частном случае квадратичной формы потенциала
рассеяния эквивалентен линейному закону Онзагера.
Решение. Принцип Циглера в представлении через потоки выражается
следующим вариационным условием (2.28):
<H0-A'F} = O, F = 2Ф - в = 0, где для случая диффузии в бинарной системе
справедливо
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах91
здесь "7,/х - поток и химический потенциал одного из компонентов системы,
Т-1 - феноменологический коэффициент.
Варьируя по потокам при постоянстве термодинамических сил, легко найти
Если скалярно умножить левую и правую части этого соотношения на поток
"7, то оказывается, что
Следовательно, из предыдущего соотношения выводится искомый результат:
73. Рассмотреть задачу 72 для случая системы, в которой осуществляется
перенос тепла теплопроводностью.
74. Используя вариационный принцип Био в форме (2.32), (2.34),
исследовать одномерный (вдоль оси х) тепловой нагрев пластины толщиной I
из материала с теплоемкостью к и теплопроводностью А. В начальный момент
t = 0 температурное поле пластины однородно, и соответствующую
температуру удобно принять за начало отсчета Т = 0, а при t > 0 на
границе и на оси пластины реализуются условия: Т(х = 0, t > 0) = Т0,
дТ/дх = 0 при х = I, t > 0.
Решение. Процесс нагревания пластины целесообразно разделить на два
этапа. На первом в качестве обобщенной координаты qi считать глубину
проникновения теплового фронта (^i < /) и аппроксимировать температурное
поле пластины функцией Т = То(1 - x/qi)2. На втором этапе в качестве
обобщенной координаты q2 принять температуру на границе х = I, а
температурное поле в пластине в виде
Т = q2 + (Т0 - q2)(l - х/1)2.
92
Глава 2
Рассмотрим первый этап. Тепловой потенциал для условий данной задачи
(2.32) с учетом температурного поля Т = ТЬ(1 - x/qi)2 есть
91
о
Тепловое смещение Н, определяемое как крТ = -дН/дх с учетом Н(х = qi) =
0, равно
Используя, далее, уравнение Лагранжа (2.32) с учетом t/, Ф,Т, приходим к
дифференциальному уравнению
Его решение с начальным условием qi(t = 0) = 0 есть qi = 3.36\/aL Время
окончания первого этапа нагревания пластины следует из этого решения при
qi = I и равно ti = 0.088512/а.
Для второго этапа нагревания пластины (t > ti) с учетом поля температур Т
= (То - 5г)(1 - x/l)2 + q2 аналогично имеем
Потенциал рассеяния Ф есть
о
Обобщенная термическая сила
F = (ToSH/Sqx)ж=о = крТ2/3.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системахЛЗ
В этом случае уравнение Лагранжа есть 4.57(/2^i = То - q2 и его решение
при q2(t = t\) =0 дается выражением
q2 =Го(1-е-°-218('/<1-1)).
75. Решить задачу 74, считая, что на границе области имеет место условие
Т(х = 0, t > 0) = kt, где к - константа.
Ответ.
h = 0.019212/а,
7г2 a(t - ti)
q2=kt-^+(^-ktiy 4 f .
Примечание. Вариационный метод Био широко использовался для решения ряда
прикладных задач теплопереноса, рассматривающих одномерный и двумерный
нагрев (охлаждение) тел при тепловом ударе и плавлении (затвердевании),
при наличии в системе конвекции и излучения [8, 18, 19]
Фазовые превращения, релаксация, химические реакции
