Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
показать, используя уравнение баланса импульса (1.4) без учета внешних
сил (F = 0)
р dtv = -V • Р
и дивергенцию от закона Онзагера V-P = -LV-Vv. Сравнивая, можно видеть,
что условие стационарности dtv эквивалентно V • Vv = 0.
Покажем, что состояние с минимальной диссипацией при заданных граничных
условиях устойчиво. Для этого дифференцируем полную диссипацию в системе
по времени:
dt / фНУ = 2LfVv: V(dtv)dV =
V V
-2 Lf(dtv -V -Vv)dV = v
-2p J(dtv ¦ dtv)dV ^ 0. v
Этот результат показывает, что в процессе эволюции системы к
стационарному состоянию полная функция диссипации системы убывает, пока
система не достигнет стационарного состояния, определяемого граничными
условиями, т.е. состояние с минимумом функции ф устойчиво.
95. Вывести нестационарное уравнение движения вязкой жидкости
(уравнение Навье - Стокса), используя интегральный вариационный принцип
Дьярмати (2.29). Влиянием внешних полей пренебречь.
114
Глава 2
Ответ. См. решение задачи 92.
96. Построить баланс энтропии для элемента объема термодинамической
системы, содержащей различные необратимые процессы - вязкую диссипацию
механической энергии, перенос энергии и массы, перенос элементарных
сдвигов (дислокаций) тела.
Указание. Использовать соотношение Гиббса в форме
dts = ^dtu - ^dtv - YdtCk ~ f-dtPD
k=1
и уравнение непрерывности
dt(bpD) = -V • (bpDV_d), Jd = bpDVD,
где ро - химический потенциал области с распределенными дислокациями; b -
модуль вектора Бюргерса; рп - суммарная плотность дислокаций; vd -
скорость движения дислокации.
Ответ.
т _ Jq Рк j J° > а
JS - ~7jT - 2^ jr к ~ ~Т ^ к=1
в = Jq -V (^) ~ ^ ~
-±Ф : ^0.
Примечание. Набор явлений, обсуждавшийся в этой задаче, характерен для
системы, подвергнутой пластической деформации. Как известно, последняя
инициирует в твердом теле целый спектр необратимых процессов - это
рассеяние механической энергии в форме вязкой диссипации и за счет
зарождения и роста трещин, перенос энергии и массы, движение дефектов
строения. Каждый из этих процессов имеет характерное время релаксации и
вносит вклад в общее производство энтропии в системе, инициируемое
необратимой деформацией.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системахИЪ
97. Построить выражение производства энтропии и линейные законы Онзагера
для проводящей термодинамической системы с дислокационным потоком
(пластическое течение среды) и электрическим током (в поле электрического
потенциала ф). Использовать указание к задаче 96.
Ответ.
в = T~xJe -E-Jd-V ^ О,
Je = - LeDV (^) ,
JD = ^E-LddV ,
^De - LeD5 Je - 3'
Примечание. Среди перекрестных эффектов, действующих в этой системе,
наиболее примечателен так называемый электро-пластический эффект,
заключающийся в возникновении дислокационного потока в кристаллическом
теле под действием электрического поля. Этот эффект исследовался
экспериментально в опытах по влиянию мощных импульсов электрического тока
на пластическую деформацию металлов. Было обнаружено возрастание
последней на десятки процентов в кристаллах Zn, Sn, Cd,
In при плотностях тока ~ 103А/мм2 [26]. Этот эффект может быть применен
при прокатке трудно деформируемых металлов.
98. Сформулировать линейные законы Онзагера для термодинамической
системы, содержащей процессы переноса тепла и вязкого и пластического
(дислокационного) течения среды (см. задачу 96).
Ответ.
Jq = -LQQV (i) - LQDV (^) ,
Jd = ~LdqV (i) - LddV ,
Ф - -LT 1Vv, Lqd - Ljjq-
116
Глава 2
Примечание. Эффект термопластичности - один из обсуждаемых здесь
перекрестных эффектов - состоит в возникновении дислокационного потока в
кристаллическом теле под действием теплового потока. Этот эффект легко
наблюдать в экспериментах по выращиванию кристаллов из расплава. В этом
случае с ним связан ряд следствий, в частности, появление остаточной
кривизны в пластинчатых кристаллах, остаточных напряжений, от уровня
которых зачастую зависит возможность получения или применения кристаллов
либо необходимость их последующей обработки. Одновременно, если приняты
условия, предупреждающие термопластический эффект, то возможно
выращивание бездислокационных металлических кристаллов или кристаллов с
контролируемой дислокационной структурой [27, 28].
99. Провести анализ термопластических эффектов и найти распределение
остаточных напряжений (см. примечание к данной задаче) в изотропном
пластинчатом кристалле, растущем из расплава в следующих геометрических,
тепловых и механических условиях: 1) поперечный (вдоль оси х) размер I
кристалла остается малым в сравнении с продольными (вдоль осей y,z)
размерами; 2) рост кристалла развивается вдоль оси х, и текущий его
размер по этой оси отмечается координатой ? ^ I границы раздела фаз; 3)
пластическое течение в кристалле возможно только в плоскости фазовой
границы, температура Tq которой постоянна; 4) напряжение сдвига <т8(Т)
кристалла есть функция температуры, обращающаяся в нуль при Т = То; 5)
кристалл предохранен от изгиба.
