Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Журавлев В.А. -> "Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях" -> 34

Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.

Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях — Удмурский университет, 1998. — 151 c.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка): termodinamikaneobratnihprocessov1998.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 .. 38 >> Следующая

граничными условиями.
107. Построить локальный потенциал для и-компонентной системы объемом V,
в которой происходят термодиффузионные процессы в отсутствие внешних сил
и при фиксированных граничных условиях.
V V
д& д&_
д(1/Т) ~ d(Vl/T) " '
Ответ.
V • - 0.
Ответ.
р =
+
+
3.1. Критерий эволюции Глансдорфа-Пригожина 129
где индекс "О" отмечает неварьируемые величины.
108. Записать эволюционный критерий (3.5) для частной системы, в которой
возможен лишь единственный процесс вязкого течения среды. Использовать
соотношение dtp = p~xdtp и линейный закон Онзагера для вязкого течения,
пренебрегая "вращательной" вязкостью (см. решение задачи 92).
Решение. Запишем критерий эволюции (3.5) с учетом условия dtfi = p_1dtp и
разложения Р = pU + Ф :
= dt<p=)p fv {V-(P-dtv + v- dtp) -pv-dt (p_1Vp) -
- (pvv + pU + Ф) : dt(Vv) + pv ¦ V (а*т)} dV s: o.
Если пренебречь "вращательной" вязкостью t)a = 0, то линейный закон
вязкого течения есть (см. решение задачи 92)
Ф = -2r](Vv)s - t]v(V ¦ v)U =
= -2rj(Vv)s - (t)v - j??) (V • v)U,
где (Vv)g = (Vv)s + Sp(Vv)U, Sp (Vv) = • v. Используя этот
закон, преобразуем слагаемое
-*:dt{Vv) =
= 2V(Vv)s : &(Vt") + (t)v - §"j) (V • v)U : dt(Vv) =
= r/dt{(Vv)s : (Vv)} + 2 (v" - dt(Vv)2, а затем и искомый критерий
эволюции
= г fv {v ¦ (р ' dtV + vdtP) - Pv'dt (p-1Vp) --pvv : dt(Vv) +pdt(Vv) +
r]dt((Vv)s : (Vv))+
+ 2 (j)v ~ §"?) MV ¦ v)2 + pv ¦ V [dt | dV ^ 0.
130
Глава 3
109. Используя результат задачи 108, показать, что из вариационного
условия (3.6) при варьировании по скорости v движения, дополнительных
условиях v = v°, р = р°, г] = г)°, t]v = р = р° и фиксированных граничных
условиях следует стационарное нелинейное уравнение движения вязкой среды,
где г>°, р°, 77°, г]°, р° - неварь-ируемые параметры.
Решение. Применяя теорему Остроградского-Гаусса и учитывая обращение в
нуль поверхностного интеграла при фиксированных значениях скорости v на
границе области и дополнительных условиях v = v°, р = р°, т] = г]°, T]v =
Vvi Р = Р° 1 нетрудно найти выражение локального потенциала системы
Iр = fv {-p°v°p~1 ¦ Vp - p°v°v° : (Vv) - p°(V ¦ v) +
7]°{(Vv)s : (Vv)} + 2 (j)v~ I7?0) (V ' v)2 +
+p°v° ¦ V ^ j j dV = fv Z'dV.
Стационарное значение локального потенциала ip при варьировании по v
реализует уравнение Лагранжа-Эйлера
dv d(Vv)
которое в данном случае при учете условий v = v°, р = р°, р = р°, г] =
г)°, r)v = ц(r) после варьирования есть
pv • Vv + Vp - V • 2t](Vv)s - V ^r)v - V • v = 0.
Поскольку (Vv)s = Vv + Vv)/2, где Vv - транспонированный тензор градиента
скорости, то V • 2r](Vv)s = V ¦ rjVv + VrjV ¦ v, и, следовательно,
искомое уравнение движения среды есть
-pv ¦ Vv - Vp + V ¦ r]Vv + V (r]v - ^r/ J V ¦ v = 0.
3.2. Принципы Био и Циглера для нелинейных процессов
131
3.2. Принципы Био и Циглера для нелинейных процессов
110. Используя принцип Био (2.32)-(2.34), исследовать нагрев
полубесконечного тела, занимающего область х ^ 0. Считать теплоемкость
тела линейной функцией температуры: х(Т) = >щ(1 + Т/Т±), а другие
теплофизические свойства тела постоянными в процессе нагрева. На
поверхности тела х = 0 с момента начала нагрева t ^ О поддерживается
постоянная температура Т = Т\. Предполагается, что температурное поле в
теле распределяется в соответствии с функцией Т = Ti(l - x/q)2, где q -
глубина проникновения в тело теплового фронта.
Решение. Примем в качестве обобщенной координаты величину q. Поскольку
теплоемкость х(Т) задана в функции температуры, удобно ввести моменты
теплоемкости, имеющие смысл величин локального теплосодержания и
локального теплового потенциала:
и определить температурный потенциал U, тепловое смещение Н, потенциал
рассеяния Ф и тепловую силу F в виде
Подставляя эти результаты в уравнение Лагранжа-Эйлера (2.32), легко найти
дифференциальное уравнение 0.0324qq = а/7, где а =
U = pj xidx = f^px0T/q,
О
Н - Р $ xdx - px0T\q ^1 - ^ + ТО (^ - §)
Ф = ^jH2dx и 0.032Ap2x2T2qq2±,
132
Глава 3
\/кор, интеграл которого при q(t = 0) = 0 есть решение задачи q и
2.97Vat.
111. В рамках условий задачи 110 рассмотреть нагрев тела в форме
неограниченной пластины толщиной I. Считать, что поверхность пластины при
х = I теплоизолирована, (дТ/дх)х=1 = 0 (см. решения задач 74, 110).
112. Используя вариационный принцип Циглера (2.28), найти общую форму
нелинейного закона теплопроводности.
Решение. Производство энтропии и потенциал рассеяния в системе, где
имеется единственный процесс теплопроводности, суть
Обращаясь, далее, к принципу Циглера в представлении потоков
Ф=Ф(Зд,^).
5{в - Х'(2Ф - в)} = 0 и варьируя по Jq при постоянстве V(1 /Г), можно
найти
Отсюда следует, что
Объединяя последние два выражения и учитывая, что 2 Ф = в, приходим к
наиболее общей форме феноменологического закона теплопроводности:
3.2. Принципы Био и Циглера для нелинейных процессов
133
Его альтернативная формулировка может быть дана на основе использования
потенциала рассеяния G в представлении термодинамических сил (см.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed