Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
(V-Vo) = (%)^Р-Ро)+(Щ)р(С-Со),
где V - объем системы. Подставляем их в линейный закон Онзагера ? =
исключая (? - ?0), а затем для исключения ? результат складываем со
вторым уравнением, продифференцированным по времени:
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системахЮЪ Преобразуем здесь выражение в фигурных скобках:
(dV\ UdA\ (дА\ (др\ (dV\ (д?\ (др\ \_
" l^i{ \dv)( [wJP УЪр)у \M)vl ~
-(dV\ \(dA\ (dA\ (dp\ \_
_ (dV\ j(dA\ ,(dA\ \ _(dV\ (dA\
Таким образом, оказывается, что
Этому результату можно придать более общий вид, вводя по определению
набор времен релаксации для изобарно-изотермического (трт) и изохорно-
изотермического (тут) релаксационных превращений:
J___L(dA\ 1 L /'дА''
трт тут Т\д?/у
Следовательно, в терминах этих величин окончательная форма
дифференциального уравнения состояния релаксирующей термодинамической
системы имеет вид
ту . V - V0 г Р-Ро "
V Н-------1- jV0p + 7F0----= о,
трт тут
где 7 = - у- (^7) - коэффициент изотермической сжимаемости
среды при ? = const.
Это уравнение позволяет установить при известной зависимости p(t)
закономерность изменения во времени объема V(t). В частности, если р =
const = ро, то объем системы редактирует по закону V - Vo = cie_t/Tj>T;
при V = Vo = const аналогичная закономерность соответствует релаксации
давления р - р0 = C2e~tlTvT\ где ci,C2 - константы.
106
Глава 2
Примечание. В упруго-деформированной среде наблюдаются интересные
явления, связанные с убыванием напряжений и с ростом упругой деформации,
- явления упругой релаксации и упругого последействия. Физическая
интерпретация их связана с рассмотрением протекающей в упругой среде
внутренней перестройки взаимного расположения частиц, оказавшихся в
результате деформации в неравновесном состоянии [25].
86. Построить выражение производства энтропии и линейные законы Онзагера
для изотропной термодинамической системы, содержащей релаксационные
процессы, связанные с объемной вязкостью среды, и химические реакции.
Указание. Воспользоваться выражением (1.14) без учета теплопроводности,
диффузии и в отсутствие внешних полей.
87. Провести анализ парамагнитной релаксации изотропного парамагнетика в
постоянном магнитном поле, используя выражение производства энтропии в
поляризующейся среде (1.14а). Считать, что влияние вязких эффектов,
тепло- и массопереноса несущественно.
Решение. Баланс энтропии и линейный закон Онзагера в этом случае имеют
вид
e = -^dtM-(B0-B)^o,
dtM = ~{В0 - в) = -ь%+1\м - ХВ),
где М - намагниченность; Ва,В - равновесная и неравновесная индукции
магнитного поля в веществе; L - феноменологический коэффициент; х -
магнитная восприимчивость.
Если поле, действующее на систему, постоянно (В = const), то, интегрируя,
легко найти закон изменения намагниченности во времени t :
M(t) = -В(1 - е-</т), М(0) = 0,
1 + Х
где т = \Т/{х + 1 )L - время релаксации.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системах\07
Для процессов, характерные времена которых значительно превышают времена
релаксации, справедливо
М=-^-В, М = хн. В = (1+х)Н,
1 + х
где Н - напряженность магнитного поля.
88. Провести анализ явления диэлектрической релаксации диэлектрика в
постоянном электрическом поле, используя производство энтропии в виде
(1.14а) без учета вязких эффектов и тепло- массопе-реноса.
Ответ. P(t) = хЕ(1 - е-</т), Р(0) = 0, т = кТЬ, где к - электрическая
восприимчивость; P(t) - электрическая поляризация; Е - напряженность
электрического поля.
89. Используя условия задачи 87, определить обобщенную магнитную
восприимчивость явления парамагнитной релаксации при действии на систему
переменного магнитного поля B(t).
Указание. Применить к линейному закону Онзагера для парамагнитной
релаксации фурье-преобразование. Так, если f(t) = M(t)
(или B(t)), то
ОО
f{t) = Ь /
- ОО ОО
/И = j f(u))eiwtdt.
- ОО
Уравнение Онзагера в фурье-образах М(и>), В(и>) разрешить относительно
М(и>) в виде М(и>) = xi (^В(и>), где xi (w) - обобщенная магнитная
восприимчивость парамагнетика.
Ответ.
"и = tTtt=W = тфт (irbv + iYtSv) '
TS (i + x)i' *l(" 0) ^ r+T-
Xi(u 00) T+x'^t-
108
Глава 2
90. Используя положения линейной термодинамики, выяснить влияние
внешнего магнитного поля Нв, изменяющегося с частотой и>, и внешнего
давления р на процесс протекания химической реакции в изотропной среде.
Считать, что эффекты теплопроводности и вязкости несущественны, система
изотермична, а удельная намагниченность т 1 и удельный объем среды v при
постоянных р = р0, Нв = Щ связаны известной зависимостью вида mi = av,
где а = (р(Щ,ро).
Решение. Для рассматриваемой системы справедливы следующие уравнения:
Tdts = dtu + pdtv - Adt? - Hedtmi, p0dtu = -p0podtv,
dti = Ip A = (ЗА, mi = av,
где A - сродство химической реакции; po - плотность среды в равновесии; ?
- степень завершенности химической реакции.
Поскольку поведение системы характеризуется набором из семи величин: р,
А, Нв, v, s, ?, mi, то приведенную систему уравнений необходимо дополнить
