Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
76. Прорывная однокомпонентная система представлена двумя подсистемами
(А, В), способными обмениваться теплом, массой и зарядом. Пусть
подсистема А есть изотропный кристалл, а подсистема В - его расплав.
Подсистемы разделены фазовой границей (А В). Построить линейные законы
Онзагера в такой системе, учитывая потоки тепла и заряда. Найти выражение
потока теплоты, связанного с теплом Пельтье. Определить скорость движения
фазовой границы, обусловленную поглощением (выделением) потока тепла
Пельтье на этой границе при пропускании через систему электрического тока
плотностью j = Je.
Решение. Уравнения Онзагера для рассматриваемой системы имеют вид
Jq = -LqqA - LQeД (ypj ,
Je - ~LeQA ~ LeeA (j?) •
94
Глава 2
Учитывая соотношения Онзагера Lq6 = LeQ, преобразуем эти уравнения к
форме
Ду, = - f-Je - ( AT,
Введем следующие обозначения: R = Т/Lee - электрическое сопротивление
проводника; е = LeQ/TLee - термоэлектродвижущая сила при перепаде
температур в 1 градус между холодным и горячим контактами проводников; Л
= (L2bqL~^ - Lqq)T~2 - теплопроводность; П = LQe/Lee - тепло Пельтье.
В этих обозначениях и при е <р/Т уравнения Онзагера суть
А(р = -RJe - cAT, Jq = -ХАТ -1- Пе/е.
Если система изотермична (АТ = 0), то из второго уравнения следует, что
Jq = П Je.
Используя соотношения Онзагера Lqb = Lbq, легко, далее, установить, что П
= еТ, и, следовательно, тепловой поток, обусловленный теплотой Пельтье,
есть
Jq = sTJe.
Пусть ток плотностью Je подводится к рассматриваемой системе; тогда, если
система изотермична (Т = Тк), возникает движение фазовой границы со
скоростью
dl TkeJe - W TkSJe rri J " ТТГ
V = - = ---------- , q и -при TkeJe " W.
dt pQ pQ
Это выражение следует из условия теплового баланса на фазовой границе vQp
= Jq - W, здесь и выше Тк и Q температура и теплота фазового перехода; р
- плотность твердой фазы; W = J2 (г\1\ +Г2/г)/2 - джоулева теплота,
переходящая в равных долях к окружающей среде и к фазовой границе; Гх,Г2
- удельные электрические сопротивления жидкой и твердой фаз. Максимальная
скорость движения фазовой
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системая^Ъ
границы реализуется при условии dv/dJe = 0. Отсюда легко найти величину
тока J°nm, обеспечивающую v(J°nm) = wmax :
Tonm Тк?
e ri/i + r2/2'
v - 1 _______g _ _ 1 ?Tk Tornn
? pQinh + r2l2) ~ ?pQJ° •
Примечание. Наличие эффекта Пельтье, являющегося источником (стоком)
тепла, позволяет проводить рост (плавление) кристаллов в изотермических
условиях, близких к равновесным. Такой метод был предложен А. Ф. Иоффе
[20] и имеет практическое значение для выращивания кристаллов
полупроводников, у которых тепло Пельтье составляет заметную долю теплоты
кристаллизации.
77. Используя вариационный принцип Био (2.32), (2.34), определить
кинетику роста плоского кристалла из расплава с гладкой границей раздела
фаз. Считать, что система неограничена в направлениях у, z и ограничена в
направлении роста 0 ^ х ^ I. В начальный момент (t = 0) она находится в
жидком состоянии при температуре Т = То, а координата фазовой границы ^
совпадает с границей системы ?(t = 0) = 0. При t > О на охлаждаемой
поверхности системы (х = 0) реализуется постоянная температура Т = Т\ <
То- На оси системы х = I выполняются условия симметрии дхТ = 0, а фазовая
граница х = ? является изотермической (Т = Т/.). Считать, что в системе
отсутствует перегрев расплава (Т* = То) и движение фазовой границы
связано с выполнением упрощенного энергетического баланса А дхТ = pQdt?,
где А - теплопроводность кристалла, р - плотность расплава, Q - теплота
фазового перехода.
Решение. Если ввести относительную температуру Т -> То - Т и считать
текущий (в процессе роста) поперечный размер кристалла ?(?) обобщенным
параметром, то уравнение Эйлера - Лагранжа (2.32) можно записать в
следующем виде:
96
Глава 2
где
f = Хр}тЩ<ь, f = i/4f JQd*,
% = pQ-ХР~Щ IT dx, Jq = Щд^ = -\dxT.
Распределение температур в области кристалла 0 ^ х ^ ? будет
аппроксимироваться выражением Т = ХЬ(1-х/?)2\ тогда оказывается, что
8U _ жрТ^ тр _ rp (xpTi ,./Л * -±1{~3-+ WJ,
| = ^{Л! + ^ + 13 f = o,+?fi{(1-f)1+3|(i-|)2}.
Подставляя эти результаты в уравнение Эйлера - Лагранжа, приведенное
выше, приходим к дифференциальному уравнению, решение которого определяет
кинетику роста кристалла:
е=2л, 1+№="")
J М + (13/315М) + (1/3) '
Г-1-^To-Ti, М=--'-г-, а = -.
x(To-Ti)' рх
Примечание. Приведенная здесь задача относится к классу известных задач
Стефана. Вариационный принцип Био применялся к решению их в работах Био
[8] и Самойловича [19].
78. Решить задачу 77, используя вариационный принцип Био (2.32), (2.34)
и считая, что на неподвижной границе системы (х = 0) реализуются условия
вида
q = АдхТ\х=0 = - TiA/?,
а температурное поле в растущем кристалле соответствует распределению
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах97
Ответ.
90 , 3840 " / , 11 ?
