Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Первое условие задачи позволяет пренебречь нормальной (вдоль оси
х) компонентой ахх тензора напряжений, а две другие (вдоль осей y,z)
компоненты считать одинаковыми, ауу = azz = a(x,t). При этом, как следует
из закона Гука
Еехх - о"хх р((туу (тzz) -И аТЕ,
Е&УУ - (r)уу L'i&XX Gzz) "Ь OlTE,
Eszz - оzz и(рхх "Ь &уу) 4" аТЕ,
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системахИ!
соответствующие компоненты тензора деформации суть еуу = ezz = е(х, t),
ехх = {2ve(x, t) + (1 + v)aT}(l - v)~x, где v, a - коэффициенты Пуассона
и теплового расширения; Е - модуль продольной упругости. Сам закон Гука,
с учетом принятых допущении относительно компонент тензора напряжений, в
представлении динамических переменных i(x,t),&(x,t) принимает вид
&(x,t) = Eii(x,t) - aE\T(x,t), Е\ = Е/( 1 - v).
Далее, обращаясь к распределению напряжений в поперечном сечении
пластинчатого кристалла, отметим, что оно должно удовлетво-
?
рять условию равновесия J cr(x,t)dx = 0. Дифференцируем его по вре-
о
мени:
С
J &(х, t)dx + = 0.
о
Подставляя сюда закон Гука и учитывая условие задачи as(T0) = а(0 = 0;
легко найти новую форму условия равновесия:
?
О
В отношении величины i(x,t) необходимо сделать дополнительные замечания.
Дело в том, что скорости перемещений материальных точек кристалла при
деформации должны быть совместны; для этого величину i(x,t) необходимо
подчинить условию совместности скоростей деформаций (см., например,
[33]), принимающему в случае деформации пластины вид d2i(x,t)/dx2 = 0.
Интегрируя это условие, находим i(x,t) = a(t) + b(t)x, где а(t),b(t) -
константы интегрирования. Однако по условию задачи кристалл предохранен
от изгиба, и поэтому продольная скорость деформации не должна зависеть от
поперечной координаты х, т.е. b(t) = 0. С учетом этого обстоятельства из
условия равновесия легко найти величину e(t) продольной скорости
118
Глава 2
деформации:
т
i(t) = a(t) = J aT(x,t)dx.
о
Что касается напряжений, то они могут возникать в любой материальной
точке системы только начиная с момента т присоединения
t
ее к фазовой границе, т.е. a(x,t) = f a(x,t')dt' при t ^ т. Подстав-
Г
ляя в это соотношение закон Гука и учитывая результат ё = a(t), приходим
к распределению суммарных (термоупругих и остаточных) напряжений в
растущем кристалле:
t
^ = аТо - aT(x,t) + [ a(tf)dtf.
&i J
т
Распределение остаточных напряжений следует из этого решения при t ^ ОО.
Примечание. Под остаточными напряжениями понимаются напряжения,
обусловленные прошедшей неоднородной пластической деформацией и
остающиеся в твердых телах после снятия внешней нагрузки, в данном случае
после выравнивания температур в сечении кристалла. Рассмотренная модель
механического поведения растущего кристалла была предложена Хироне [29] и
Инденбомом [27]. Она применима в условиях высоких скоростей
кристаллизации металлов, в особенности тугоплавких.
100. Используя решение задачи 99, вычислить суммарные и остаточные
напряжения в пластинчатом кристалле толщиной I. Для этого принять в
качестве температурного поля, определяющего тепловой поток в растущем
кристалле, решение однофазной задачи Стефана [29, 28]
Т{Р, =ТС+ Qy/npe^erf ,
yja
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системаж119
где Q - теплота кристаллизации; к - теплоемкость; а -
температуропроводность; (3 - кинетический коэффициент; Тс - температура
на охлаждаемой поверхности кристалла.
Ответ. Суммарные напряжения
Здесь аТ = EaQ/к( 1 - и)\ Е - модуль продольной упругости; i/,a -
коэффициенты Пуассона и теплового расширения.
Примечание. В приведенном решении для <т°(р,х/1) интересно отметить
следующее обстоятельство. Можно видеть, что максимальные остаточные
напряжения <у°т возникают в кристалле при координате (х/l) = 1 и,
следовательно, р2 = 1п(1 + cr^/cr7'). Поскольку комплекс ат по порядку
величины совпадает с теоретической прочностью кристалла на отрыв, то
предположение = сгт, рассматривающее разрушение твердого тела как
термодинамический фазовый переход, ограничивает параметр роста кристалла
сверху, р2 < 1п2.
101. Построить уравнение Онзагера для изотропного вязкоупругого тела,
используя принцип максимальной скорости порождения энтропии Циглера
(2.28). Условия деформации считать изотермическими.
Решение. Представим полный тензор напряжений сгар в виде суммы упругой о-
Вр и вязкой <7^ составляющих: аа/3 = тогда диссинативная функция системы
и потенциал рассеяния в представлении потоков суть
Остаточные напряжения
ф = crvafj?af} ф О, Ф*=Ф*(?,?) (а,(3 = 1,2,3).
120
Глава 2
Применяя вариационный принцип Циглера
б{ф-Х'(2Ф* -ф)} =0
при варьировании по потокам (ёар - скорость сдвига), легко найти общий
вид определяющего уравнения вязкой деформации среды:
= 2 (щ?у6) Ф*дё7р (а,Р,Г(6=1,2,3),
Для обратимой части деформации
3
гос(3
(r)ав - о - /3, 'У, S - 1, 2, 3),
ОбтЯ
где U = (l/2)Ca/3ys?ai3?jS - упругий потенциал на единицу объема среды,
