Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
определяемый в предположении малых деформаций еар\ Cap^g - тензор упругих
констант.
Если скорости деформации ёар малы, то потенциалы рассеяния есть
квадратичная форма Ф* = 0.5La^g?a^ys. Подставляя его в общее уравнение
вязкой деформации, находим
(r)а.р - J = 1,2,3),
и, следовательно, феноменологический закон Онзагера для вязкоупругой
деформации среды есть
- С"h ((Т, /1, у, б = 1,2,3),
В случае малых деформаций и скоростей деформаций изотропной среды число
независимых упругих констант равно двум (А,/х - постоянные Ламэ), и,
следовательно,
U = ^-А + iij J\ + 2/xJ2,
где Ji, J2 - инварианты деформации первого и второго порядка:
Ji=e," (J = 1,2,3),
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах121 J2 - ^ ^й) (,^1 0: ^ = 1 ? ^5 5
Аналогично, для вязких констант х, г]
Ф = Qx + vj Ji + 2r)J2,
Jl = &д6ч J2 - 2 (^ceP^aP Ё'дб') 0: ^ ^: ^) •
В результате феноменологический закон вяакоупругой деформации сводится к
уравнению
°а/3 = Ае5sUap + 2/1?ар + H?§$Uap + 2 Г]?ар
{а, 0,6 = 1,2,3). где Uap - единичный тензор.
Глава 3
Нелинейная термодинамика
Известно, что состояния макроскопических систем, удаленных от
термодинамического равновесия, не подчиняются описанию средствами
линейной термодинамики, формализм которой справедлив лишь вблизи
равновесных состояний. Исследование таких систем, направленное на
установление зависимости между скоростью протекания необратимых процессов
и термодинамическими силами в широкой кинетической области существования,
составляет предмет нелинейной термодинамики необратимых процессов.
Конкретными объектами ее приложений являются и химические реакции, и
явления в высокоинтенсивных процессах переноса, и биологические системы.
Развитие аппарата нелинейной термодинамики идет по пути создания
вариационных принципов, обобщающих принципы линейной теории на нелинейную
область [9, 10] или рассматривающих новые вариационные формы [8, 11, 12].
В этой связи к настоящему времени наибольшее значение имеют принципы Био
и Циглера и нелинейная и термодинамическая теория Глансдорфа-Пригожина, в
которой дана вариационная формулировка нелинейных процессов на основе
аппарата локальных потенциалов, являющихся выражением универсального
критерия эволюции систем [12]. Поскольку принципы Био и Циглера,
справедливые и для линейных и для нелинейных процессов, уже обсуждались
ранее (гл. 2, §2), то здесь в необходимом объеме приводится только обзор
положений теории Глансдорфа-Пригожина. Последняя возникла как обобщение
принципа минимального производства энтропии на нелинейные процессы. Как
оказалось, для описания систем, удаленных от состояния термодинамического
равновесия, определяющую роль играет не производство энтропии, а скорость
его изменения, названная производством избыточной энтропии. Так, если
полное
123
производство энтропии в системе
/" т
OdV = JY, JkXk Z 0 (3.1)
v v ^=1
дифференцировать по времени, то можно разделить производство избыточной
энтропии на два слагаемых:
т т
dt / OdV = f ? JkdtXkdV + / ? XudtJudV =
V V k=1 V k=1
- f dV + f Q^-dV -
- J Qt av + J dt av ~ dt + dt '
9x0 = J] 9j0 = J] XkdJk,
fc=i fc=i
где первое слагаемое дает вклад, обусловленный изменением
термодинамических сил, а второе - изменением потоков. Относительно
первого из этих слагаемых в теории Глансдорфа-Пригожина доказывается
утверждение, по которому производство избыточной энтропии, связанное с
изменением термодинамических сил, стремится к минимуму в системе с
фиксированными граничными условиями
" т
j Y JkdtXkdV ^0. (3.3)
9х? dt " ,
у к-1
Знак равенства здесь относится к стационарному состоянию системы.
Это утверждение, содержащее как частный случай принцип минимального
производства энтропии, называется в теории Глансдорфа- Пригожина
универсальным критерием эволюции систем. Его формулировка не требует
каких-либо предположений о характере связей между потоками и силами, но
опирается на гипотезу локального равновесия.
При наличии в системах конвективных переносов стационарное состояние в
равной мере определяется условиями и термодинамической и механической
устойчивости. Поэтому критерий (3.3), отражающий лишь первое условие,
необходимо дополнить путем введения в
124
Глава 3
формализм теории гидродинамических эффектов. Это достигается в результате
замены локальной энтропии s функцией s - 0.5Т_1и2, где v - вектор
скорости течения, и переходом к новой форме критерия эволюции:
дх& Г дхв' [ (дхв р dv dv
dt
(м>
Учет гидродинамических эффектов, как было показано в [12], приводит к
существованию реальных условий, при которых нарушается устойчивость
стационарного состояния и малые флуктуации скорости v переводят систему в
новое стационарное состояние, характеризующееся наличием пространственных
структур. Примером последних являются ячейки Бенара в конвективных
потоках неравномерно нагретого слоя жидкости. Одновременно, как
оказалось, существуют условия, при которых возможно возникновение
