Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
Примечание. Выбор потенциала рассеяния G* в форме однородного полинома
порядка г = 2 с двумя термодинамическими силами т = 2 приводит к линейным
законам Онзагера, описывающим кинетические диаграммы бинарных систем в
условиях превращения, близких к равновесным. Этот результат совпадает с
решением задачи 80.
Приложение
Символика величин. В книге для обозначения величин различного тензорного
ранга используется следующая символика. Скалярные величины обозначены
курсивом (с - скаляр), произвольные векторы - полужирным курсивом (v -
вектор с декартовыми компонентами va(a = 1,2,3), тензоры второго ранга -
прямым полужирным шрифтом (Р - тензор второго ранга с компонентами
Рар(а,/3 = 1,2,3)), тензоры более высоких рангов обозначаются либо как
тензоры второго ранга, если это возможно по тексту, либо представляются в
компонентах AapJs_Xa{3'yfi = 1)2,3). Для единичного тензора и его матрицы
использовано обозначение
U -+иаР (а, /3 = 1,2, 3);
для единичного вектора и его декартовых компонент п ->• па;
а, 0,7, S,..., = 1,2,3 - индексы, отмечающие декартовы компоненты
тензорных величин;
i,j,k,l = 1,2,...,п - индексы, отмечающие принадлежность величины к
конкретному компоненту;
i,j,k,l = 1,2, ...,т - индексы, отмечающие конкретную термодинамическую
силу или поток.
Ступенчатые функции:
0(a) =
1? а ? 1?
sgn(a) =
О, а ? 2,
-1, а < О, 1, а > 0.
Символика операций. Внешнее произведение двух векторов называется
векторной диадой (тензор второго ранга):
vuj ->• (ьш)ар = vau)p (а,0 = 1,2,3).
Приложение 139
Внешнее произведение вектора на тензор (тензор третьего ранга):
vP У (vР)afi-y Vo/Ppy]
и двух тензоров (тензор четвертого ранга):
РР ->• (PP)apyS = PapP-yS-
Внутреннее (свертка) или скалярное произведение векторов и тензоров:
з
V-Ш ->• X VaUJa,
а=1
V • Р ->• (V ¦ Р)р = X "а-Р"/3,
а=1
Р -v ^ (Р -v)a = X) PapVp (а = 1, 2,3),
/3=1
Р ¦ Т ->¦ (Р ¦ T)aj = X) РарТр-у (с*7 = 1; 2, 3).
/3=1
Двукратное скалярное произведение двух тензоров второго ранга есть
скаляр;
Р '.Т -Ь X РарТар1
а, /3=1
Р • Р -Ь X ^/з,
а,/3=1
U '• U ^ X ^/3 = 3-
а,/3=1
Свертка тензора с единичным тензором называется следом тензора:
з з
Р : U -Р P^U"P = SP Р = ^Руу
а, /3=1 7=1
140 Приложение
В случае тензоров произвольного ранга q используется д-кратная свертка
тензоров:
з
А(-)В Е -/^аР'у...дВаР'у...д'
а,Р,'у,...,д=1
Транспонирование тензора:
РаР = Рра, VU> =(VV, Р Т = Т Р
(а,/3 = 1,2,3).
Тензор симметричен, если
Р = Р РаР = Рра
(а,/3 = 1,2,3), и антисимметричен, если
Р = ~Р РаР = Рра (а,/3 = 1,2,3).
Каждый тензор ранга q > 2 можно разделить на симметричную (s) и
антисимметричную (а) части:
Р = Р8 + Р°,
Р8 = ^(Р + Р) -"¦ Р8^ = ^(Ра/З + -Р/За)
(а,/3 = 1,2,3).
Р" = 1 (Р - Р) ^ р-р = 1 (Ра/3 - р^)
(а,/3 = 1,2,3).
Векторное произведение векторов:
[г>а>] ->• [va"]7 = vau}p - ujavp
Приложение 141
(а,/3 = 1,2,3).
Тензор ортогонального преобразования, отражающего произвольный элемент
симметрии среды, имеет обозначения
Г -^ Гаа'Гдо/... (а, а',/3,/3'= 1,2,3).
При действии его на любую тензорную величину последняя преобразуется по
закону:
з
L' = ±Г(r)(-) -"¦ L'a,p,y, = ± ^2 Гаа<Где<.. .Га/з7.",
а'Р'у'...
(+) - полярные тензоры, (-) - аксиальные тензоры, (•) - (/-кратная
свертка.
dt, (•), dt - операторы полной и частной производной по времени:
dtv = v -A- (dtv)a = (v)a, dtv -p- (dtv)a (a = 1,2,3).
Пространственные производные записываются с помощью оператора V (набла):
Г7- д д - а
V = ------> -- = да = Va.
or 0ra
Внешнее произведение с вектором V есть градиент:
Vc -"¦ (Vc)a = = даС (а = Ь2)3))
Vv -у (Vv)ap = = davp (a = 1,2,3).
Скалярное произведение с вектором V есть дивергенция:
V • v -"• X dVn
1 (r)га '
СК=1 ^
3 Цр 3
v • -Р (v • Р)р = X Vй = Е 9apa/3 (/з = 1,2,3),
1 a ______________1
142 Приложение
Векторное произведение с вектором V есть ротор:
_ dva dva
[Vw] -"• [Vw]7 = Vavp - Vpva = -
(a, 13 = 1,2,3).
Операторные соотношения:
V • (P • v) = P • (V • v) + P : Vv,
[u [wit]] = u>(v ¦ u) - u(v ¦ ш),
V • [wu] = -v • [ш] = -и ¦ \uv\ = - w • [(r)u] и т.д., v • [vui] = 0.
Формы выражения концентрации i-го компонента в системе:
ТП'
Pi = -jr ~ массовая плотность; с" = ^ - массовая концентрация:
П П
53 - 1-5 Р - S PPl
i=l i=1
ТП'
Xi = jy-.y - молярная плотность;
Mi - молярная масса;
Ni = - молярная концентрация:
П П
J2Ni = 1, X = хр,
i=1 i=1
Vi - удельный объем;
vf1 = MiVi - молярный удельный объем;
Приложение
143
yi = - объемная концентрация:
П
П
Е Уг = Е vi = v = p1.
г=1
г=1
Системы характеристических скоростей отсчета. Если средняя скорость
частиц fc-ro компонента системы есть Vk, то количественное представление
о диффузии дает рассмотрение относительного движения частиц со скоростью
Vk -va, где va - некоторая макроскопическая скорость. По определению
диффузионный поток частиц i-го компонента есть величина Ji = pi(vi - va),
выражающая количество вещества, проходящего в единицу времени по нормали
через единицу площади, движущейся со скоростью va.
