Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
<С с равна
Fk = qk{E + c_1[ufcB]) + VE • pk + VB • mk.
Следовательно, имеем
Vp = pqE + c_1[7B] + VE ¦ P + VB ¦ M,
где использованы определения величин (на единицу объема)
П П
Е РМк = pq, I = Е Pkqkvk,
к=1 к=1
п п
Р = Е PkPk, М = Е РкГПк-
к=1 к=1
Кроме этого, соотношение Гиббса - Дюгема для поляризующейся среды имеет
вид (1.19):
П
У Pk (V рФ)т = Vp - VEP - VBM.
к=1
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах81
Подставляя сюда выражение Vp, находим еще одну форму условия
механического равновесия поляризующейся среды:
+ с 1[vkB])} = 0.
к=1
Используя это условие и применяя теорему Пригожина (см. задачу 23),
преобразуем диссипативную функцию к виду
П
Ф = ~У^к ¦ {(Vitji)r - Як(Е + c~1[vkB])} ^ 0,
к=1
где = pk(vk - va) - диффузионный поток fc-ro компонента в произвольной
системе характеристических скоростей va.
Одновременно градиент химического потенциала поляризующейся среды есть
(1.18):
(Vp*)r = PfcVp - VEpk - VS • тк + (VРк)т,Р,в,Е¦
Подставляем, далее, в выражение диссипативной функции значения (Vp*)r,
Vp, причем в последнем учитываем лишь величины, связанные с поляризацией:
П
Ф = - Y Jk ' {(VР>к)т,р,В,Е - VS • (pk - VkP) -
k=l
-VS • (mh - vkM) -qk(E + c~1[vaB})} ^ 0.
Используем связи в системе потоков и сил
П П
У Ск(Урк)т,р,В,Е = о,
к=1Ск к=1
и соотношения
П П
- VkP) = о, ^2рк(тк - vkMk) = 0,
к=1 к=1
где а;, - весовой множитель скорости fc-ro компонента, характери-
П
зующий макроскопическую скорость va = Y ак^к\ ск = (рк/р) -
к=1
массовая концентрация к-го компонента.
82
Глава 2
Исключим n-й поток и n-ю силу из выражения диссипативной функции:
п- 1
Ф = " ' {(^№к)т,р,В,Е ~ • (рк ~ VkP)~
к=1
-VB • (mA - VkM) + Е1 tg[(VW)T,p,B,B-j=i
-V.E • (pj - VjP) - VB ¦ (mj - vjM)]}+
n- 1
+ E Jk • (9* - 9n)(B + c->"B]) ^ 0.
k=i
Введем обозначение термодинамической силы
¦^к = (Ур,к)т,р,В,Е - • (Pk - VkP) -
-VB • (тпк - VkM) (к = 1,2,..., n - 1)
и сформулируем линейные законы Онзагера, описывающие диффузию в
поляризованной среде:
га-1 (
Л" = -?К;
j=l I
71-1 ^ /1. ' л
С-j df]
г=1
(fc = 1,2,..., п - 1). Меняя индексы во внутренней сумме
г-! (
ап . 1
г=1
(fc = 1,2,..., п - 1).
и делая подстановку индексов в феноменологических коэффициентах Lkj =
LkiUij, где Uij - единичная матрица, k,i,j = 1,2,...,п - 1, находим
окончательно
Та - -
Jk -
71-1 / р \
Е fry + if fe) {V-E • (Pi - vjP)+
t,j=i
+VB • (m. - vjM) - (VPi)t,p,b,e}
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системах83
(к = 1,2,... ,п - 1).
Примечание. Можно видеть, что в поляризуемой среде возникают
дополнительные вклады в потоки массы элементов лишь при наличии
неоднородных электрического и магнитного полей. Вещество с высокой
диэлектрической проницаемостью будет стремиться распределиться в областях
с высокой напряженностью поля.
65. Распад плазмы, возникшей в малом объеме газа, заключается в
диффузионном распространении заряженных частиц по всему пространству,
занимаемому газом. В силу различной подвижности электронов и ионов
локальная нейтральность плазмы в общем случае нарушается и возникает
пространственный заряд, создающий электрическое поле. Записать законы
Онзагера для потоков частиц в электронной и ионной подсистемах с учетом
сил, обусловленных электрическим и концентрационным полями в условиях
частного режима развития плазмы, называемого амбиполярной диффузией,
когда локальная нейтральность плазмы сохраняется в процессе ее движения.
Решение. Запишем, используя (1.14), диссипативную функцию, описывающую
диффузию в электрическом поле Е :
2
ф = - • {(V/Xfc)r - quE] ^ О,
к=1
и линейные законы
Ji = - Ьц V/xi - -1*12 V fj,2 - Li^qiE,
"7г = -^2iV/xi - L22V Ц2 - Li2zq2E,
где индексы относятся к электронам (1) и ионам (2). В случае амбиполярной
диффузии для поддержания локальной нейтральности плазмы необходимо всюду
выполнение условия равенства плотностей электронов и однозарядных ионов
(pi = р2, qi = (/2), равенства потоков электронов и ионов (Ji - J2 = 0) и
равенства сил (piV pi - /O2V/X2 =
V/xi - V/x2 = 0).
84
Глава 2
Однако в силу различия в массе электронов и ионов эти условия возможны,
если оба слагаемых (концентрационное и связанное с электрическим полем) в
выражении электронного потока почти компенсируют друг друга. Это
выполняется при напряженности поля
Ьц + L12 V/X2
ь =---------------.
Liz Qi
Подстановка этого результата в линейный закон для ионов дает уравнение
амбиполярной диффузии:
J2=J = - (l21 + L22 + Z23^12) (^j VP2 = -DVp2.
66. На границах изотропной изотермической бинарной системы
поддерживается независимое от времени неоднородное распределение
концентраций компонентов. Используя вариационный принцип Онзагера в форме
(2.23), найти уравнение, описывающее распределение концентраций в объеме
тела, и показать, что состояние системы, определенное принципом минимума,
стабильно относительно локального возмущения концентраций.
Решение. Закон Онзагера для "чистой" диффузии в бинарной среде,
