Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Журавлев В.А. -> "Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях" -> 23

Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.

Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях — Удмурский университет, 1998. — 151 c.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка): termodinamikaneobratnihprocessov1998.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 38 >> Следующая

записанный в системе центра масс, имеет вид (см. решение задачи 64 при п
= 2, "i = с±, а2 = с2, VЕ = VВ = 0)
J = Ji = -Ln ( 1 + VCl.
1 - ci / \ дс\ / Тр Введем величины коэффициента диффузии и массовой
концентрации:
г> = =
~ Pi1 - с) V дс ) Тр ' С1 - с-
Следовательно, потенциал рассеяния в представлении термодинамических сил
имеет вид
G* = Py(Vc)2 ^ 0.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах&5
Полный потенциал рассеяния в системе объема V есть
J G*dV = J Pj(Vc)2dV ^ 0.
v
v
Определим, далее, распределение концентраций в системе, удовлетворяющее
принципу минимума Онзагера (2.23):
Экстремум этого функционала (учитывая постоянные граничные условия)
реализует уравнение Эйлера - Лагранжа
V • Vc = V2c = V • J = 0.
В данном случае оно соответствует уравнению Лапласа, описывающему
стационарное распределение концентраций при условии D = const.
Стационарность состояния легко показать, поскольку V • J = 0 и из закона
сохранения массы (1.2) следует прямое условие стационарности
распределения концентраций (dfC = 0).
Для доказательства устойчивости данного состояния системы по отношению к
локальным возмущениям концентраций дифференцируем по времени полный
потенциал рассеяния в системе
v
v
v
v
Интегрируя по частям, легко найти
pDfVc ¦ V(dtc)dV = f J ¦ V(dtc)dV
v
V
f dtcJ • dtt - f(dtc)V • JdV.
v
Поверхностный интеграл (12 - поверхность области) обращается в нуль,
поскольку концентрации компонентов на границах области
86
Глава 2
фиксированы. В результате, используя уравнение баланса массы (1.2), легко
получить условие
dt J G*dV = - J p(dtc)2dV ^ 0,
V V
так как p > 0, (dtc)2 > 0. Следовательно, потенциал рассеяния убывает в
процессе эволюции системы, пока не будет достигнуто стационарное
состояние, определяемое граничными условиями. Поэтому стационарное
состояние устойчиво и отвечает минимуму полного потенциала рассеяния
системы.
67. Получить стационарное уравнение теплопроводности в изотропной среде V
• V(T) = 0, используя принцип минимального производства энтропии
Пригожина (2.27), и доказать, что стационарное состояние, определенное
принципом минимума, устойчиво относительно локального возмущения
температур.
68. На основе принципа минимального производства энтропии Пригожина найти
ограничение на коэффициент теплопроводности в двухфазном теле, считая,
что молекулярный коэффициент теплопроводности в первой фазе равен Л, а во
второй фазе (поры) равен нулю.
Решение. Пусть коэффициент теплопроводности в двухфазной среде есть
А(г) = <5(г*)Л, где г - радиус-вектор,
г, ч fire фазе 1,
^ - | 0 г е фазе 2.
Тогда полное производство энтропии в системе, обусловленное
теплопроводностью, есть
J 0dV = J\(r)(VT)2dV = min,
V V
где Т - температура, V - объем системы.
Введем средние значения градиента температуры G и теплового потока q.
i j VTdV = G, q= -A,= - j A(r)VTdV.
V V
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах87
Пусть истинное значение градиента температуры есть VT = G +
VT*, где Т* - "геометрическая флуктуация" температуры; тогда
J 0dV = AG2r) + 2А J S(r)G • VT*dV + \J <5(r)VT* • VT*W = min,
V V V
где t] = y jv 8(r)dV - унарная корреляционная функция среды.
Если минимум этого функционала реализует флуктуация Т**, где Т* = еТ**, а
е - вариационный параметр,то, подставляя это значение флуктуации в
выражение функционала и осуществляя минимизацию
V
находим
е = - VT* W / 5(r)VT** • VT**^y
J S(r)VT** ¦'
Производство энтропии принимает минимальное значение при ? = 1, и с
учетом последнего выражения получаем
/
6dV = -G • q = Аэффв2 = min.
Однако истинное значение флуктуации температуры Т**, минимизирующее
полное производство энтропии в системе, неизвестно; поэтому оптимальная
величина параметра е должна быть отлична от единицы, и в этом смысле
наилучшим ее значением служит предыдущее выражение для ?. Подставляя его
в выражение для производства энтропии и учитывая, что
/ MV u. < Jedv I
88
Глава 2
можно найти необходимое ограничение на коэффициент теплопроводности в
двухфазном теле:
поскольку второе слагаемое в фигурной скобке является положительным.
Примечание. Приведенное решение было предложено Прагером [24, 17] при
анализе ограничений на эффективный коэффициент диффузии в диффузионном
потоке растворенного вещества в растворителе, заполняющем промежуточное
пространство в скоплениях твердых частиц.
69. Решить задачу 68, считая, что система состоит из двух фаз с
коэффициентами теплопроводности Ai,A2-
70. Построить, уравнения изотермической диффузии для п-компонентной
среды в системе центра масс, используя интегральный вариационный принцип
Дьярмати (2.29).
Решение. Диссипативная функция, описывающая концентрационную диффузию в
n-компонентной изотермической системе, с учетом теоремы Пригожина (см.
решение задачи 64) есть (1.14):
v
Ответ.
ФФ ~ ^ + •Ml - Г]).
П
Ф = ~^2Jk ¦ V/x* ^ О, =pk(vk- va).
к=1
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed