Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
энтропии, необходимо выполнение вариационного условия
д@
6@ = 0, - = 0, * > к.
дХ,
58
Глава 2
Варьирование по силам X; при г ^ к отсутствует, поскольку эти силы
поддерживаются постоянными в системе с помощью средств внешнего
принуждения, Xi,...,Xj, = const. Следовательно, если производство
энтропии есть
Это означает, что в условиях с минимальным производством энтропии потоки
Ji, где г = к + 1,..., тп, сопряженные свободно изменяющимся силам,
исчезают.
Примечание. Доказательство принципа минимального производства энтропии,
приведенное в решении задачи 38, было предложено Пригожиным для системы с
одной фиксированной силой [4] и обобщено на случай к фиксированных сил де
Гроотом [13]. В частном случае, когда в системе нет фиксированных сил, но
условие SQ = 0 выполняется, такой системой может быть лишь замкнутая
равновесная система, где все потоки, а следовательно и производство
энтропии, равны нулю.
39. Установить эквивалентность принципов Онзагера и Пригожина, используя
формулировки принципов для непрерывных систем.
40. Показать, что состояние системы с минимальным производством энтропии
соответствует стационарному состоянию и устойчиво. Доказательство
провести на примере прерывных систем.
Решение. Для доказательства справедливости первого утверждения о том, что
состояние системы с минимальным производством энтропии совместимо с
условиями стационарного состояния, введем набор параметров аи состояния
открытой прерывной системы. Пусть, далее, поток а*, связанный с
произвольным параметром а*,, содержит
т
т
0 - JiXi - ^2 LijXfXj ^ О,
i=l i->j=1
то варьирование по силам с учетом Lij = Lji дает яа т
(г = к + 1,..., т).
2.2. Вариационные принципы Онзагера, Пригожина, Циглера, Дьярмати, Био,
Бахарев!
внутреннюю Jk = а'к и внешнюю ак составляющие; тогда производ-;тво
энтропии в представлении потоков есть
mm т
0 = ^ JkXk = ^ Lki JkJi = ^ Lki akat Д 0.
к=1 г,к=1 г,к=1
Минимум производства энтропии на отрезке времени h ^ t ^ t2 выражается
вариационным условием
t-2
S J Qdt = 0,
ti
которое эквивалентно системе уравнений Лагранжа - Эйлера
d д@ д@ п "
-- - = 0 (к = 1,2,... ,т).
dt дак дак
Поскольку
д@ п д& п^г_1.. "
dJk~ ' Щ~ к*ак
го для определения потоков dj. = Jk имеет место система уравнений
т
^2Lki^i = consi4 (fc =
i=l
решение которой есть
а'к = Lk{ const/ = const*.
*=i
По определению стационарного состояния системы справедливо d/г = а'к +
dj.' = 0. Следовательно, а'к = -ак = const/., т.е. внутренние потоки а'к
постоянны и определяются внешними потоками а'к на границе системы. Это и
означает совместимость стационарного состояния и состояния с минимальным
производством энтропии. При этом,
60
Глава 2
если часть сил Хк(к = п+1, п+2,..., т) в системе не фиксирована, то -ак =
const& = 0 и соответствующие внутренние потоки исчезают, а'к = 0(к = п +
1, п + 2,..., т).
Устойчивость состояния системы с минимальным производством энтропии
(стационарное состояние) легко показать, предположив, что нефиксированные
в системе силы Хк(к = п+1, п+2,..., т) испытывают малое возмущение SXk
около стационарных значений сил Х°. Тогда линейные законы Онзагера и
производство энтропии можно представить в виде
т т
a'k=Ji=Y, LikX°k + ? LikSXk = J? + SJt
k=1 k=n+1
(i = n + 1, n + 2,..., m),
m m
0 = ? LikX°kXj + ? LkjSXkSXj ^ 0.
k,j=1 k,j=n+1
Первая сумма в выражении для 0 соответствует минимальному уровню
производства энтропии, возникающему в стационарном состоянии системы, а
вторая сумма характеризует отклонение производства энтропии от этого
уровня. Поскольку для необратимых процессов
т т
^ ] LkjSXkSXj = ^ ] SJjSXj + 0,
k,j=n+1 j=n+1
то любое отклонение от стационарного состояния приводит к возрастанию
производства энтропии, т.е. стационарное состояние системы устойчиво.
Примечание. Каждое состояние системы с минимальным производством энтропии
может быть стационарным состоянием, хотя обратное утверждение не является
справедливым. Действительно, такая возможность возникает, если не
выполняется хотя бы одно из условий, необходимых для вывода теоремы о
минимальности производства энтропии и доказательства совместимости
стационарного состояния и состояния с минимальным производством энтропии
[10], т.е. следующих условий: справедливости линейных уравнений и
соотношений Онзагера, постоянства феноменологических коэффициентов и
внешних условий.
2.2. Вариационные принципы Онзагера, Пригожина, Циглера, Дьярмати, Био,
Baxapeei
При нарушении отмеченных условий признак стационарности системы опирается
на теорему более общего характера [9, 10].
Устойчивость стационарных состояний системы обеспечивается положительным
приростом производства энтропии в системе по отношению к минимальному
производству ее в стационарном состоянии. Следовательно, любое
самопроизвольное отклонение системы от стационарного состояния будет
подавляться внутренними потоками, возвращающими систему в начальное
состояние. Этот вывод, по существу, выражает обобщение принципа Ле
