Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
з=1
тогда при условии, что как силы, так и потоки образуют системы
независимых переменных, справедливы соотношения взаимности Онзагера
Lkj = Ljk-
Показать, что эти соотношения сохраняются при наличии линей-
т
ной зависимости между потоками ^2 bkJk = О, где Ьк - коэффици-
к=1
енты.
т т
Решение. Если Ът ф 0, то Jm = - тг^^к и производство
k=i °т
энтропии трансформируется к виду
2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 51
В этом представлении для в термодинамические силы и потоки образуют
независимые системы переменных, и могут быть сформулированы независимые
линейные законы Онзагера в форме
771-1 ,
Jk=Y, L'kiXP Х'з = Xi ~ ТГХ(tm) (* = 1,2,..., m - 1),
i=i m
где коэффициенты L'kj удовлетворяют соотношениям взаимности
L'kj=L'jk (k,j =
Сравнивая эти линейные законы с законами
771
Jk - ^ ' ^kjXj (к - 1,2,..., ш)
3 = 1
m
и учитывая ^ buJк = 0, нетрудно установить связи между обоими к=1
множествами феноменологических коэффициентов:
Lkj=L'kj (k,j = 1,2,...,ш- 1),
771 - 1 , 771 - 1 ,
Lkm = JTL'kj¦> Lmk = " ТГ^Зк
. 1 um . 1 um
3=1 3=1
(к = 1, 2,..., m - 1),
m-l , ,
г - V' k i t '
-Ьщщ - ^ 2
fc,j=i (tm)
Поскольку для коэффициентов L'k ¦ справедливы соотношения взаимности
Онзагера, то из последних выражений следует искомый результат
-kkj - -kjk 5 -к km - -kmk {к^ j - 1,2,...,Ш 1),
т. е. соотношения взаимности сохраняются и в условиях существования в
системе линейных связей между потоками.
52
Глава 2
30. Неравновесная система характеризуется производством энтропии вида
в = JiXi + J2X2 ^ 0.
Формулируя линейные законы Онзагера
Ji = ЬцХ\ + L12X2, J2 = L21X1 + L22X2
и считая потоки образующими линейные связи Ji + J2 = 0, показать, что для
этих условий сохраняется справедливость соотношений Онзагера L12 = L2i-
Указание. Воспользоваться результатами решения задачи 29.
31. Доказать в рамках задачи 30 справедливость соотношений Онзагера = LJ^
для системы, содержащей линейно зависимые
2
силы Xfc = 0 и независимые потоки. к=1
Указание. Записать линейные законы Онзагера в виде 2
Xf. = Lkj Jj (к = 1,2) з=1
и использовать результаты решения задачи 29, записанные в представлении
обратных коэффициентов
32. Показать для условий задачи 30 справедливость соотношений
Онзагера, считая, что в наборах сил и потоков существуют линейные 2 2
СВЯЗИ вида Y1 Хг = 0, Ji = 0-
!=1 * = 1
33. Для изотропной термодинамической системы, в которой действуют
необратимые процессы различного тензорного свойства - скалярные, полярные
векторные и симметричные тензорные, - записать линейные законы Онзагера и
упростить систему феноменологических коэффициентов, используя свойство
инвариантности линейных законов при ортогональных преобразованиях
координат, соответствующих инверсии и вращению.
2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри
53
Решение. Пусть действующие в системе процессы характеризуются
диссипативной функцией вида ф = JcXе + JB ¦ Хв + JT : ХТ ф 0, где Jc, JB,
JT, Xе, Хв, Хт - потоки и силы скалярного, полярного векторного и
тензорного явлений, причем JT,XT - де-виаторы (Sp JT = Sp Хт = 0).
Запишем систему линейных законов Онзагера:
jc = LCCX° + LCB ¦ Хв + LCT : Хт, JB = LBCXC + LBB • Хв + LBT : Хг, JT =
LTCXC + LTB ¦ XB + LTT : XT.
Тензорная валентность феноменологических коэффициентов меняется в каждом
уравнении в зависимости от тензорности потока и соответствующей силы.
Кроме того, поскольку Хт - девиатор, то нулевым следом по последней
(первой) паре индексов обладает каждый феноменологический коэффициент
LCT, LTC, LBT, LTB, LTT. Упрощения в системе феноменологических
коэффициентов достигаются в соответствии с принципом Кюри в зависимости
от того, одинаковым ли образом они преобразуются при ортогональных
преобразованиях координат.
Рассмотрим преобразования коэффициентов LBC, LCB, LBT, LTB при операции
инверсии координат (см. примечание). LBC,LCB - полярные векторы, поэтому
для них при преобразовании используется однократная свертка (тп = 1) LCB
= (-U)1 ¦ LCB = -LCB. Следовательно, LCB = -LCB, LBC = -LBC. Это
возможно, если LBC = LCB = 0. Аналогично можно установить, что тензоры
третьего ранга LBT = LTB = 0. Действительно, в этом случае тп = 3 и имеем
LBT = (-U)3 : LBT = -LBT.
Таким образом, из приведенной схемы феноменологических коэффициентов
исключаются коэффициенты с нечетным рангом (тп = 1,3), коэффициенты с
четным рангом (тп = 0,2,4) сохраняются.
Применим, далее, другое ортогональное преобразование - вращение на
произвольные углы (см. примечание). Так, для скалярного коэффициента
имеем Lcc = (R)°LCC = Lcc Это - тривиальное свойство скаляра быть
инвариантным относительно произвольных вращении системы координат.
Используя это свойство, сделаем заключение в отношении коэффициентов LBB,
LCT, LTC - тен-
54
Глава 2
зоров второго ранга. Для этого образуем скаляры путем свертки тензоров с
диадой XY и применим к скаляру операцию вращения R (.LBB : XY) = (LBB)' :
XY. Поскольку скаляр инвариантен к R, а тензор LBB инвариантен
