Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
r\kn + P±"kn __ r\km + Р± km rfn + P'±mn (27 51)
Vi/ 1+4-7-
Учитывая соотношения, аналогичные формулам (27.20), (27.21), получаем
1 -~(P±rSP±rs)
4kn +
+ Р± kn + Р± Kn + "J (Р± kmP±mn - P±kmP±mn)- (27'52)
Следовательно,
t]ftn + Р± kn
V
14—- ґ -г 2 Jd
303. P± kn + Р± kn 2 кщР± тп Р± kmP±тп)
%ni--j
1--р rsp
4
± г± г s
X
После несложных преобразований находим
(' + т^гі'+т'іго-т^'»)"4"-
= {1+ \-\p±r. + P±r* + -J {P±r*P±\-P±r«P±na X
X
hi/2
(27.54)
Учитывая это и сопоставляя левую и правую части выражений (27.53), получаем искомый закон композиции
, JL
*±kn "Г * ± kn
+ — [Р±, р±]к п
=-j -. (27.55)
Ia t
--P rsp
4 F± rs
= ^±kmP±тп — Р± kmP±тп-
Закон композиции бивектор-параметров имеет характерный для метода Ф. И. Федорова простой вид (27.55) только при задании матрицы общего преобразования Lkn в форме (27.41). Действительно, если по аналогии с работой [650] ввести бивектор Pun, определяемый соотношениями (27.43), (27.44), и представить матрицу преобразования группы SO (4.С) выражением (27.45), то закон композиции новых параметров Pkn усложнится:
Pkn = {(l - ~ PrSP'rs)(Pbn + P^ + ІЛ РЪп ] ± ± -у (Prs DP'rs) (DPkn + °Р'Ы + 1°Р, />Ъп)} X
304 X {(1 - -L PrsP'rs j2 -F -L (,Prs DPr:r} 1 , (27.56)
_ _L prsp>s J T {prs Dp>s) ф ^
Выражение (27.56) аналогично закону композиции для антисимметричных 4Х4-матриц-параметров группы SO(3.1) [646, 652] и группы SO (4.С) [650]. Переход от Phn к рьп ведет к еще большему усложнению закона композиции.
27.6. Исследование области допустимых значений бивектор-параметров. Не При всяком комплексном бивекторе Pkn выражение (27.41) для матрицы Lkn имеет смысл преобразования группы Лоренца. Поэтому исследование области допустимых значений бивектор-параметров, как и в случае векторной параметризации групп SO (3.1) и S0(4.C) [630—632, 649], является необходимым элементом параметризации.
Прежде всего, важно отметить, что выражение (27.41) справедливо лишь при условии
1+ -L P±rsR±rs Ф О, (27.57)
которое эквивалентно требованиям
1 + q2 =T^ О, 1 +g2=^=0
векторной параметризации [630]. Из ссотнсшения (27.54), используемого для получения закона композиции (27.55), следует, что если неравенство (27.57) выполняется для P±hn и P'±kn по отдельности, то при условии
1 - -Lp*rsp±rs^°° (27-58)
оно автоматически оказывается справедливым и для P ±ы [630—632]. Таким образом, требование (27.57) находится в полном соответствии с групповым законом композиции бивектор-параметров. Оно не запрещает компонентам векторов а, Ь, end принимать бесконечно большие значения. Однако, как показано в работе [630], матрицы Lkn и a kn потеряют смысл (станут неограниченно большими), если на q и g (или на тот и другой одновременно) наложены условия вида
Q2 = 0, [qp = оо; g* = 0, |g|2 - оо. (27.59)
Рассмотрим ограничения, накладываемые условиями (27.59) на типы бивектор-параметров. Поскольку свойства любого бивектора в большой мере определяются значениями его
20. Зак. 3
305 инвариантов, можно выделить следующие четыре типа бивекторов:
а) і\?=0у І2ФО — бивектор общего вида (двухлистный),
б) ^1 = 0,^2=7^0 — простой бивектор,
в) і\Ф0, /2 = 0 — круговой бивектор (по аналогии с круговым вектором q2 = 0 [669]),
г) t'i = 0, к=0 — изотропный (нулевой) бивектор.
В общем случае инварианты it и і2 не совпадают друг с другом. Для частных случаев бивекторов совпадение возможно, например для бивекторов P±kn со специальными относительно операции дуальности свойствами (27.35). Действительно, из соотношений (27.35) и соотношений
I±i = -jP±r. °P±rS. 1±х = -\р± r,P±rS находим, что инварианты пропорциональны друг другу:
/+ і = ± V±T /+ 2, L і = =F V ±т L 2. (27.60)
Следовательно, возможны лишь два типа бивектор-параметров P±kn — общего вида и изотропный.
Выясним влияние условий (27.59) на параметры P±hn. При выполнении первого из условий (27.59) для q и g из соотношений (27.60) следует
/+ і = 2g* = 0 ,/_!=- 2q2 = 0, (27.61)
т. е. изотропным бивектор-параметрам P±kn соответствуют круговые вектор-параметры. Если же на последние наложено и второе из условий (27.59), то такие бивекторы Р±кп не могут служить параметрами группы SO(4.С), так как матрицы Lkn и a kn станут неограниченно большими. Таким образом, параметрами группы SO(4.C) могут служить бивекторы общего вида или изотропные, для которых не выполняются условия (27.59).
Поскольку P±kn конструируются из исходного бивектора Pkn общего вида, то ограничения на P±kn скажутся и на структуре Pkn- Чтобы выяснить их, воспользуемся выражением, следующим из уравнений (27.5), (27.6), (27.33) и (27.40):
Pkn = QiP+kn + Q2P-kn, (27.62)
0. = /77^7(/1 + 4/, + /1 + 4-7-}' q2=/i+4-/+{/ 1+4-'*+/ !+4-7-}-
306. Тогда для инвариантов бивектора pkn получаем
7 л-V*-*«*<¦ -«Л (27.63)
Ь = у PfenPftn = 2 (Q?g2 + Qk2),
причем в силу неравенства (27.57) Qi=H=O, Q2=H=0. Выясним влияние условий (27.59) на инварианты (27.63) для разных
ТИПОВ бивекторов Phn-
