Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Подстановка выражения (27.13) в коэффициенты (27.5) приводит к громоздкому выражению для Lkn в виде полинома четвертой степени относительно pfen.
*) Здесь и далее латинские индексы первой половины алфавита пробегают значения 1, 2, 3, а начиная с k, I, т... — значения 1, 2, 3, 4 или 0, 1, 2, 3 в зависимости от выбора метрики ї]ап в виде diag ( + 1, +1, +1, +1) или diag ( + 1, +1,+1,-1).
296. 27.2. Переход к лоренцевому полиному L6SO(4.C) 2-й степени. Как и в § 26, введем в рассмотрение бивектор DPhny но дискриминантный тензор г\knmi зададим в виде
Цкпті = V ±Ц Bftnmz- (27.15)
Поскольку в дальнейшем одновременно будут рассматриваться два упомянутых выше варианта выбора метрики цьп, то выражения (27.14), (27.15) фактически содержат в себе четыре варианта определения операции дуальности:
*) Цкпті =V+ЦЧптЬ б) Цкпт1=У~ЦЧптЬ Л = + 1*»
(27.16)
в) Цкпті = V+ tI Zhnmb Ц = — 1'> Г) Цкпті= V — Л ^knmh Ц = ~1-
Это придает всем последующим соотношениям дополнительную общность. Применим операцию дуальности дважды:
DDPkn = ± Pftn, DDPhn = ± Phn (27.17)
(здесь и далее, если специально не оговорено, верхние и нижние знаки соответствуют верхнему и нижнему знакам в определении (27.15)). Как и в случае выражений (26.9), путем непосредственного расчета можно убедиться в справедливости следующих соотношений ДЛЯ любого бивектора Phn И отличного от него бивектора P kn>
PhmPmn = =F 0Pftm Dpmn - і2Ь\, (27.18)
0PkmPmn = Phm 0Pmn = - Y кЬ\, (27.19)
Pkm DP'mn + Phm DPmn = - -Y (Prs °P'rs) (27.20)
0PkmPmn + 0PkmPmn =--j (РГ' °Р'Г) 6\ , (27.21)
где і і = —і- Phn Dpkny і2 = PknPkn — инварианты бивектора 2 2 pkn (комплексные скаляры). Умножая (27.18) на ркп и учитывая (27.19), нетрудно получить соотношения, необходимые для упрощения Bkn и Lhn:
PkmPmsPsn = ± 0Pfcn- ^2Pftrt,
(27.22)
PkmPmsPsrPrn S =F ( Y")2 в*» - ^PftmPmn-
297. Подставляя выражение для Bkn (27.13) в коэффициенты (27.5) и используя соотношения (27.22), находим лоренцев полином общего преобразования группы SO (4.С) в виде
-fcn = b01
У]ип+2рип+2рктґп±іівр^ (27.23) причем из условия (27.9) следует, что
Ь0 = det (%n - pkn) = 1 + i2 ± ^ J ф 0. (27.24)
Таким образом, всякая матрица преобразования Lfen группы SO (4.С) представима в виде полинома второй степени относительно комплексного бивектор-параметра pkn с коэффициентами, зависящими только от инвариантов этого бивектора.
Выражение ( 27.23) можно рассматривать как частный случай общего представления Lfen в виде полинома второй степени относительно комплексного непростого бивектора
Lkn = ^lfen + Bpkn + С Dpkn + DpkmpInni (27.25)
где Aj Bf Cj D — произвольные комплексные коэффициенты, которые могут содержать pfen лишь в свертках tt и i2. Рекуррентные соотношения типа (27.18) — (27.22) позволяют свести члены, содержащие более высокие степени Pkn, к одному из членов в правой части (27.25). Аналогично изложенному в § 26 приходим к двум уравнениям относительно четырех неизвестных величин А, В, Cj D:
A2 + I1Bc ± Z2C2 =F D2 = 1,
(27.26)
2AD — B2 ± C2 — I2D2 = 0.
Эти уравнения обобщают систему (26.11) на случай комплексной группы Лоренца, а также учитывают четыре варианта (27.16) определения операции дуальности. В зависимости от выбора двух дополнительных условий, присоединяемых к уравнениям (27.26), можно прийти к различным выражениям для Aj Bj Cj D через инварианты бивектор-параметра /?fen. В частности, при дополнительных условиях
B=D = 2bol (27.27)
находим коэффициенты А и Cj входящие в выражение (27.23). Возможны и другие частные решения. Таким образом, если исходить из соотношений Кэли (27.2), то это приводит к частному решению системы (27.26) в виде
298. 4_ 1 + 4 + (4/2)2 в D_ 2
1 + г2 ± (Ч/2)2 ' 1 + t2 ± (ч/2)2 '
±h
l + i2± (Ч/2)2
(27.28)
Сказанное в п. 26.3 о дуальных поворотах бивектор-параметров можно обобщить и на группу SO (4.С).
27.3. Выражение комплексного бивектор-параметра через лоренцевы полиномы. Нетрудно установить, что соотношения (27.5) и (27.6) обратимы, т. е.
Pkn = (Lkm -%m) Cmn, (27.29)
Ckm (Lmn + TImn) = (Lkm + Tlftm) Cmn = Tiftn- (27.30)
Воспользуемся (27.30) и (27.10) для отыскания полиномиального выражения, определяющего ры через матрицу преобразований Lkn. Тогда имеем
Chn = ± С~хZhntpqEntit (Llm + т]lm)(Lip + т]ip)(Ltq + тц), С = 3! det (Lkn + T)ftn) Ф 0. После несложных, но громоздких вычислений находим
Chn = CT1 j I 1 + 2Lmm+ -L (Lmmf - -L LmsLsm
fiktl .
1 + Lmm+ -j-(Lmm)*--l-LmsLsm
Lhn +
+ (1 + Lmm) LhsLs11 - LhsLsmLmn } , (27.31)
C0 = 2
1 \ 2 1
1 і___ im___ Ttnsr
2 4
Ф 0.
что является следствием соотношения (27.30). Из уравнений (27.31), (27.29) и характеристического уравнения для Lkn
LkmLmrLrtLs п Kj^ т ) (LkaLs Tri + Lhn) + + -j I(Lmn)2 - LmsLsm] LhtLsn + Tiftn = 0,
а также условия ортогональности комплексных преобразований Лоренца получаем искомое выражение для бивектор-параметра:
299. 1+ L^Lkn- Lnk) - (Lkm +Lmk)(Lmn—Lnm)
Pkn = - 7 Ї \2 j •
