Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
I-~ (В\ L=L(B) =-—-\Е + 2 (В + ?2)
L), (25.11) преобразования L ?
N(B) =
N(B)
1--у(В\
_1_ 2
(В\
~(В\
Г"
(25.12)
287. -Tw-Il4'
Следовательно, вместо полинома третьей степени (25.9) получаем полином лишь второй степени относительно матрицы параметров. Более того, при таком подходе, опираясь на соотношение (25.4), можно записать и закон композиции для матриц параметров В [650, 651]. Однако он оказывается достаточно громоздким.
Соотношения, связывающие между собой матрицы А, В и q+1 g\_, имеют вид [650, 651]:
А = Kg.+ ?<7+ a + ? '
a = Ki+?,
Отсюда следует:
q + = B-dB9 g_=B+DB, (25.15)
где
DAmn = — гтпЫ Akh DBmn = — гтпЫ Bkl (25.16)
— 4Х4-матрицы, дуальные исходным матрицам А и В (гтпм— символ Леви-Чивита). Возможность представления матриц SO(4.C) в характерном виде (25.8), т. е. в виде произведения двух коммутирующих друг с другом матриц а± (первого порядка относительно параметров), непосредственно вытекает из специфических особенностей алгебры Ли для этой группы (см., например [651]). Эта алгебра, как известно, распадается на две коммутирующие между собой алгебры Ли, каждая из которых изоморфна алгебре Ли группы трехмерных вращений. Сама группа SO(4.C) локально изоморфна прямому произведению SO(3.C) XSO(3.C). Таким образом, применительно к потребностям полевой теории элементарных частиц и релятивистской кинематики все основные соотношения векторной параметризации групп SO (3.1) и SO(4.C) были переформулированы в такой матричной форме, при которой в качестве параметров выступают элементы антисимметричной 4Х4-матрицы, т. е. бивектора [646, 650, 651, 659]. Полученный в рамках такого подхода закон композиции для матриц-параметров в целом оказался достаточно громоздким и малопригодным для приложений.
a + ? '
? - V 1-g2 ,
(25.13)
(25.14)
288. 25.3. Основные итоги и требования к бивекторной записи параметризации. Резюмируя изложенное, можно сделать следующие выводы.
I. В настоящее время имеется хорошо разработанный и всесторонне апробированный аппарат обычной, SO (3.1), и комплексной, S0(4.C), групп Лоренца, в основе которого лежит метод векторной параметризации Ф. И. Федорова [630— 633, 650, 651]. В рамках данного подхода сформулирована совокупность тех соотношений, которые определяют параметризацию конечных непрерывных преобразований этих некомпактных групп. Она включает:
а) соотношения, позволяющие строить явные выражения для матриц преобразований группы по заданным ее параметрам, для которых определена допустимая область их изменения;
б) соотношения, позволяющие отыскивать параметры группы по известным выражениям для матриц преобразований, удовлетворяющих условиям, определяющим их принадлежность к рассматриваемой группе;
в) соотношения, устанавливающие изоморфное соответствие между групповыми операциями над элементами группы и групповыми операциями над параметрами, т. е. соотношения (закон композиции), позволяющие по известным параметрам двух преобразований отыскивать параметры преобразования, являющегося произведением двух исходных.
Возможность получения соотношений такого типа во всей их совокупности, причем в предельно простой и удобной для практического использования форме, обеспечивается в рамках векторной параметризации рациональным выбором параметров группы, объединяемых в трехмерные комплексные векторы — вектор-параметры группы Лоренца. Все соотношения данной группы записываются в компактной векторно-матрич-ной (безындексной) форме при фиксированной метрике пространства—времени Минковского. Векторная параметризация группы Лоренца существенно использует также и соотношения дуальности, в частности, в рассмотрение вводятся само- и антидуальные матрицы-параметры.
II. Из сказанного вытекают следующие требования к индексной бивекторной записи векторной параметризации Ф. И. Федорова. Она должна:
а) включать всю совокупность соотношений (см. Ia—1в), определяющих параметризацию группы, и сохранять основные особенности и преимущества векторной параметризации групп SO(3.1) и SO(4.С), для чего она должна быть построена аналогично последней и совпадать с ней при переходе к вектор-параметрам;
б) раскрывать до конца связь и соответствие между би-
19 Зак. 3
289. векторной и векторной параметризациями, в частности, явно должно быть показано, что характерная для векторной параметризации структура матриц конечных преобразований Лоренца (см. соотношения (25.1) и (25.6)) может быть получена непосредственно из соотношений Кэли при последовательном использовании соотношений дуальности для бивектор-параметров;
в) допускать свободу в определении операции дуальности и выборе конкретного вида локального метрического тензора ОТО, что в свою очередь ставит задачу выяснения влияния этой свободы на адекватность соответствия между бивекторной и векторной параметризациями;
г) включать удобную для практического использования формулировку закона композиции бивектор-параметров, что может быть достигнуто в результате перехода от сложного закона композиции бивектор-параметров общего вида для группы SO (4.С) к закону композиции само- и антидуальных бивектор-параметров, эквивалентному простому закону композиции (25.4) вектор-параметров.
