Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, бивекторы могут быть связаны друг с другом посредством преобразований [501, 667]
Pkn = apkn+$Dpkn = P (COS ф pkn — sin ф Dpkn). (26.22)
Здесь а, ?, р — произвольные действительные коэффициенты, Ф — угол дуального поворота. Из соотношения (26.22) следует, что при этом происходит преобразование и инвариантов бивектора:
h = P2 (h cos 2ф — I2 sin 2ф),
(26.23)
h=p2(i[ sin 2ф — /gCos2ф).
Подстановка параметров (26.22) в коэффициенты (26.8) показывает, что переход в полиноме к другому бивектору при-
*> В работе [636] принято т)аПг«=—1У—цгьпгз.
293. водит к перегруппировке членов, в результате чего меняются коэффициенты полинома:
а' = а + р2d (i2 sin ер — Ii cos ер) sincp,
b' = р (b cos ф — с sin ф), (26.24)
с' = р (с cos ф + b sin ф), d' = р 2d.
Таким образом, семейство бивектор-параметров (26.22) и соответственно семейство лоренцевых полиномов определяются двумя произвольными функциями от инвариантов бивектора — «масштабным множителем» р и углом «дуального поворота» ф. Выражение для семейства лоренцевых полиномов (оно является общим решением недоопределенной системы (26.11)) найдено в виде [636]
Lkn= Kp2 + у 6*n + 2рCOSф р\ + 2р5ІПФ Vn + 2PkrPrnI А
(26.25)
Д2 = р*+ 2р2 (it sin 2ф + i2 cos 2ф) + і? + Z22.
Задавая функции р (it, н) и ф (Iij k)t фиксируем в этом семействе полином с определенными коэффициентами. Обратно, если задан лоренцев полином вида (26.8) с фиксированными коэффициентами, то он принадлежит семейству полиномов (26.25) и выделяется из него заданием р и ф, следующим образом связанным с его коэффициентами:
^ = -?-(* + *1)' tS ф = —г - (26-26>
а2 о
26.4. Семейство законов композиции. Как видно из § 25, параметризация Ф. И. Федорова содержит уникально простой закон композиции. Коль скоро имеется семейство бивектор-параметров, то ему, очевидно, соответствует и семейство законов композиции.
В работе [659] закон композиции бивектор-параметров представлен в виде
p'kn== Ti-.'ч, , ,.'чо { (1 — (Pkn+ Pkn + 2 р{Ыг1 р'Гп]) —
3 (l_t2)*+ (I1)* 12 12
- i'l (0Pkn + DPkn) + 2p'wn dP r«]}, (26.27)
12 12
где
L\ (prs) = L*m (prs) Lmn (p'rs). (26.28)
З 1 2
В работе [636] выяснено, при каком выборе ф и р имеет место простой закон композиции. Действительно, переходя в выра-
294. жении (26.27) от p'kn к pkny находим сложное выражение для і і
семейства законов композиции, содержащее функции р и ср. Это выражение сильно упрощается, если перейти к комплексному бивектор-параметру qkr= pkr— iDpkr. Тогда соотношение (26.27) принимает вид
Qkm=---(Ла Qkm+ KQkn +
3 и и 1 rs 1 2
KK--т" QrsQrs
4 і 2
+QlkrQ и«]), K=P er**t. (26.29)
1 2
Следовательно, при
Ai = I, /=1,2,3, ф,= 0 (26.30)
из семейства законов композиции (26.29) выделяется закон композиции параметризации Ф. И. Федорова.
§ 27. ГРУППА ЛОРЕНЦА SO(4.C) С КОМПЛЕКСНЫМИ БИВЕКТОР-ПАРАМЕТРАМИ (ТЕНЗОРНАЯ ЗАПИСЬ)
27.1. Тензорная запись соотношений Кэли и лоренцева полинома LGSO(4.C) 4-й степени. Матрица L произвольного конечного преобразования комплексной группы Лоренца SO (4.С) удовлетворяет условиям
LGL = Gi det L = + 1. (27.1)
Запишем соотношения Кэли в виде
L = (G + p)?, (27.2)
где матрица В такова, что
B(G-P) = (G-P)B = Ei (27.3)
причем
det (G ±р)Ф 0. (27.4)
Здесь р = —р — антисимметричная 4Х4-матрица, независимые элементы которой определяют параметры группы, а ? — единичная матрица в четырехмерном пространстве, G — 4Х4-ма-трица метрического тензора этого пространства.
Перейдем к индексной записи, вводя следующие очевидные символические обозначения:
L = (Lkn)i р = (pkn)i В = (Bkn)y E = (6\), G = (г,Ч
Gf =(Tlfen), QG' = GfG=^mn = E и учитывая, что
ОЛ = AG = (тtmAmn) = (A**), G'A = AGt = (цктА\) = (Akn).
295. Тогда соотношения (27.2) — (27.4) легко представить в явно
выраженной тензорной форме *):
т + Pkm) В Пі (27.5)
ВШ(г\тп-Ртп) = (г\кт-рш)Втп=б\ (27.6)
det (%п ± Pkn) Ф 0, (27.7)
LkmLnm = б\, det Lkn = + 1. (27.8)
В качестве параметров преобразований Lkn группы SO (4.С) примем независимые компоненты комплексного бивектора рьп общего вида (непростого). Представим Bkn в виде полиномиального выражения относительно pfen, решив уравнение (27.6) относительно Bkn. Известно, что если
OtftwOmn = ^amn = б\, (27.9)
и выполняется условие det (Cikn) Ф 0, то матрица akn определяется соотношением
akn = ± _J— EbwWHalrrAipOtq9 (27.10)
3! det (akn)
где Ekmpq — символ Леви-Чивита. Здесь знаки + и — относятся к выбору метрики Tjfen соответственно в виде diag(+l, +1, +1, + 1) или diag(+l, +1, +1, —1). В рассматриваемом случае Cikn = %П — Pkn и CCkn = Bkn. Поэтому из соотношений (27.9), (27.10) для Bkn находим
Bkn = =h Ъ~хE^mrs {%т _ pqm) {ї]н _ pri) {r]sp _ р$р)у (27.11) где
6 = 3! det (tlfen-pfen) =^0. (27.12)
Используя свойства Emnrs9 преобразуем найденное Bkn к виду
Bkn = bol + ^P^Prs^ + P^ + P^Pra71+ PkmPmsPsn^ (27.13) где
bo = ^r Ь = det (Tlfen - pfen) ф 0. (27.14)
о!
