Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Содержание § 26 и 27 данной главы удовлетворяет этим требованиям.
§ 26. ГРУППА ЛОРЕНЦА S0(3.1) С ВЕЩЕСТВЕННЫМ БИВЕКТОР-ПАРАМЕТРОМ (ТЕНЗОРНАЯ ЗАПИСЬ)
26.1. Предварительный поиск. Следуя статье [660], а также монографии [35], введем выражение для коэффициентов преобразования вещественной группы Лоренца
L\ = А"1 {(тГ + рП (Tlmn - ртп) - Vі 0Pmnl (26.1) А = (1 + hf + h = ~ Phn0Pkn, к = -у PknPkn-
Здесь pkn — вещественный бивектор общего вида (сложный, непростой [35]), a Dpkn = —r\knrs Prs- бивектор, дуальный бивектору Pkw Дискриминантный тензор x\knr8 выбран в виде r\knrs = = yI 2 eknrs- В качестве метрического тензора можно взять diag
(+ 1, + 1, + 1, + 1,) или diag (+ 1, + 1, + 1, — 1). Учет соотношений
0Prnn^ Dpkmr\mn, 0PfimPmn = P^ °Ртп (26.2)
позволил преобразовать коэффициенты (26.1) к форме, характерной для параметризации Ф. И. Федорова [35, 660]:
290. TU__ (t)*m+<7/m)(rW + Я-mn)
Vl + V1 +"T q~q-r° '
где
q±hn= Pkn ± DPhn, °я±кп= ±
В отличие от принятых в работах [630 — 632] обозначений в статье [660] знак + у бивектор-параметра qk? обозначает его самодуальность, а знак — антидуальность; при получении уравнений (26.3), (26.4) использовалась метрика diag (+1,+ 1, + 1, — 1).
Соответствие между матрицами q+ и q*__ и бивектор-параметрами qfo устанавливалось с помощью следующих соотношений:
SkrqTSmn=(Q~)kn, Skrq^Smn = (q+)kn, (26.5)
Чс = aC+ iK Qc = aC- S =
где учтено, ЧТО
( ^=-(Ag=Fffr) 1 q±c4=±i(ac^ibc) Ч± V qt=+i{ac+ibc) I О
Таким образом, от коэффициентов преобразования (26.1) с бивектор-параметром общего вида легко перейти к коэффициентам (26.3) с тремя независимыми компонентами самодуального бивектора q+hn и с тремя антидуального бивектора q~kn в качестве параметров. Переход с учетом матрицы (26.6) к трехмерной форме записи и применение унитарного преобразования (26.5) приводят коэффициенты (26.3) к виду (25.1).
В работе [660] предполагалось, что параметры рип произвольны, но вопрос о связи между различными бивектор-параметрами еще не рассматривался. Естественно изучить эту связь с помощью дуальных преобразований бивекторов, которые, в частности, изучались для электромагнитного поля [661].
26.2. Разные случаи лоренцева полинома lgso (3.1) 2-й степени с вещественным бивектор-параметром. По аналогии с полиномиальным выражением
= apbpn+ bpkpn + Cffipn+ dpkpn + /?, (26.7)
1 1 1 2 2 1 2 2 П9
определяющим так называемые плоские преобразования Лоренца (см. работы [663, 664]), выражение для коэффициентов преобразования группы SO (3.1) общего вида было представлено в форме *) [662, 665]
*) К этому виду полинома можно прийти путем разложения [666, 667] L = eH = 1+Я+Я2/2+..., где H—антисимметричная матрица.
(26.3)
(26.4)
1 1 О О І і
).(26.6)
19*
291 Lkn = aVn+ bpbn+ c°pkn + dpkmpmn. (26.8)
Будем называть его лоренцевым полиномом. При этом были учтены соотношения
Pkmffln= - DpkmDpnm, Pkm0Pnm= 0PmnPmk = -J- «V
(26.9)
PkmPmrPrn= — кPkn--~ 0Phn,
Pkmlflr0Prn=--Y Pkn, Pkm0Pmr0Prn = ~ ~J Pkn,
(26.10)
0Pkm0Iflr0Prn= ifPkn- J- Pkn, Pkm0PmrPrn= --J- Pkn-
Подстановка полинома (26.8) в систему уравнений LhmLnm = = б*, определяющую лоренцевы преобразования, дала два независимых уравнения [662]:
а^—і^+іфс+ d2 = 1, 4
(26.11)
2ad — b2 — с2 — i2d2 = 0
относительно коэффициентов полинома.
В работе [662] рассмотрено частное решение системы (26.11) при с = 0. Тогда матрица (26.8) принимает вид
Lkn = ("2 + Ч2)-1/2 { + 2 K^=T2 PkU + 2pkmpmn },
(26.12)
где U = Ad 2—Если же в выражении (26.12) принять и = = 1 + i2, что эквивалентно условию b = d, то из уравнений (26.11) следует:
b = d = 2a(\ + i2y\ а = ±( 1+ i2) [(1 + i2)2+ h2]~l/\
(26.13)
Lkn = 4- Kl + h) б+ 2 (Pkn + PkmPmn)]. (26.14) A
Нетрудно убедиться, что при а>0 принятые условия, дополняющие систему (26.11), соответствуют параметризации с комплексным вектор-параметром. В частном случае простого бивектора (когда ii = 0) выражение (26.12) упрощается:
Lkn = 8kn + —l—(pkn+ Pkmpmn) (26.15)
1 +h
292. и соответствует простому (плоскому) преобразованию Лоренца. В работах [35, 662] указано и несколько иных частных решений системы (26.11). Так, если систему (26.11) дополнить условиями
с = 0, d = 2а, (26.16)
то из нее найдем
a = ±(1 +fia)~. b=2VT^ijVWi? , (26.17)
lk^ 2^1=Vn ± PkrPrn.). (26.18)
Если (частное решение)
a = b = с = d, (26.19)
то
ь=Lk»= 4- ^k-+ г**+Dpk»+ PkrPm)'
А А
(26.20)
В этом случае бивектор-параметр подчинен ограничению
DpCO = рс0у Dpab = _ (26.21)
26.3. Семейство бивектор-параметров. Кроме указанных частных решений системы (26.11) при переводе в тензорную запись параметризации (25.8) (см. § 30) найдено еще одно частное решение [511]. Оно интересно тем, что связано с подходом Кэли. Там же поставлен вопрос о связи между собой различных решений системы (26.11), т. е. исследовании свойства бивектор-параметров. Этот вопрос решен в работе [636]. Изложим кратко ее основные результаты (несколько изменив ход изложения и частично обозначения)*).
