Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
1+ — Lmm]---(LmsLsm)
2 J 4 V (27.32)
27.4. Преобразование лоренцева полинома к форме, характерной для векторной параметризации. Приведем выражение (27.23) для матрицы комплексного преобразования Лоренца Lkn к более компактной форме. Для этого учтем, что любой бивектор pkn можно однозначно представить в виде
Pkn = (р+ kn + р- kn)> (27.33)
где по определению
P+ kn = Pkn + У± 1 vPkny
__(27.34)
P- kn = Pkn- V± 1 DPkn-
Знаки + и — у р+ hn и р_ kn выбраны так же, как в работах [35, 660].
Учитывая соотношения (27.17) и (27.18), получаем
Dp+ kn = ± V± 1 Р+ kn, dP- ь = Kn9 (27.35)
рЛ- тпп = p_*mp+ mn, P^P- km = 0. (27.36)
Следовательно, бивекторы р+/т и р_/т линейно независимы и имеют по три независимые компоненты, не сводящиеся друг к другу, в том числе и при комплексном сопряжении.
Учет соотношений (27.19) и свойств p+kn и P-kn позволяет преобразовать коэффициенты (27.23) к виду
%n + Р+ kmp-mn +
+ ( + + P-kn\, (27.37)
bo = 1 + 4" + u + ("Hf^ ^ ^ h = -у- рЛ fem, L = -J- P-kmP- km-
Тем самым получено выражение для преобразования группы SO(4.C) через два линейно независимых бивектора p+kn и P-kny содержащих по шесть действительных параметров группы.
300.Рассмотрим случай, когда в выражении для матрицы Лоренца (27.37) коэффициент при Tjfen отличен от нуля:
a = I — ^ + )2 Ф 0. (27.38)
Выражение (27.37) для Lkn теперь можно представить в виде
Lkn = abo1 Irifen+ , /t!hn .wa + +
I 1 + (t _ —1+)/8 1 — (і _ —1+)/8
,--P±km--pJ\-) (27.39)
1 + (/_ —1+)/8 1 — (t_ — t+)/8 J
Примем обозначения
Р±Ы=-Pf" , ¦ l±- <27'40)
liV1
где знаки в знаменателе соответствуют знакам у р± kn. Отсюда следует, что Р± hn обладают теми же свойствами, что и р± kn. Учет коммутативности Tjfen и Pifen и несложные преобразования коэффициента ab0'позволяют представить коэффициенты (27.39) в более компактной форме
!*» = kma-mn, а± kn = T , • (27-41)
V- 2
Tlftn + Р± kn
При этом справедливы условия 1 --— 1± Ф 0, которые объе-
2
диняют в себе неравенство (27.38) и требование Ь0фО. Выделим два следующих случая. Примем, что і+ Ф Тогда общее преобразование комплексной группы Лоренца задается выражением (27.41), а его параметрами служат линейно независимые бивекторы Р+ kn и hn. В случае же і^ = поскольку Р± kn = = p±kn у имеем
Un = а+ «± fen = . (27.42)
У 1 + 1±/2
Если неравенство (27.38) нарушается, то
•-Ч^Г-М^Н'+^)-*
в результате чего, как нетрудно убедиться, вытекающие из коэффициентов (27.37) матрицы
301.M
An
{(i-^-r±)p+hn+p+knp-m 4 (1+"SA)=0,
Nkn = bvl J^I4J=-Ajp_kn+p+knip_»nJ, lY^) = 0
не удовлетворяют условию ортогональности (27.8) и, следовательно, не принадлежат группе преобразования SO(4.C).
Итак, матрица Lkn общего преобразования комплексной группы Лоренца всегда представима в характерной для векторной параметризации Ф. И. Федорова форме (27.41) или (27.42) вне зависимости от связи между i+ и i-, при любом выборе сигнатуры диагональной метрики цип и любом определении дискриминантного тензора (27.15), (27.16).
Перейдем к отысканию выражения, позволяющего определить бивектор-параметр по известной матрице Lkn- Для этого по аналогии с соотношениями (27.33) — (27.34) введем
Pkn= -L(P+kn + P-kn), (27.43)
P + kn - Phn + V ± 1 °Pkn,
P_ftn = Pkn - V±T°Pkn. (27.44)
Подставляя эти величины в уравнения (27.41), находим
г (r\km+Pkm+ V±T DPkm)(4mn+Pmn-V ±Т 0Pmn) -
Lftn=-уо + /,^-• (27-45)
После учета (27.20), (27.21) это выражение может быть преобразовано к виду
(1 + h) Цкп + 2 (Pkn + PkwP п) /о7 ла\
kn~ K(TTW • { ' '
Легко показать, что
T _ T _ _^Pkn_ Ttn _ _\_
kn nk~ VrOWaP=W,' ' m" V(i + /2)W
Отсюда следует в согласии с выражением (25.11), что
Pkn = -L (Р+ kn + P- kn) = Lkn~Lnh ¦ (27.47)
Рассмотренная выше бивекторная параметризация справедлива при любом из четырех возможных вариантов операции дуальности (27.16). В работе [511] выделены и подробно рассмотрены различия, вносимые выбором знака под корнем
302.в выражении г\кпті = У±цВкпті' Там же выделены преобразования группы SO(4.C) с простыми бивектор-параметрами, когда ti = 0. Приведены выражения простого бивектора через два 4-вектора, закон композиции простых бивектор-параметров и др.
27.5. Закон композиции бивектор-параметров комплексной группы Лоренца. В рассматриваемом случае бивекторной параметризации отыскание закона композиции параметров преобразования группы SO (4. С) сводится к следующей задаче: по известным бивектор-параметрам p±kn и р'±ъп двух различных преобразований Lkn и Ukn получить бивектор-параметры p±kn преобразования Lffkny определяемого как произведение исходных
L\n = a+ftma>n = LkmUmn = a+ksaJmaJcmra_rn. (27.48)
Учитывая коммутативность K\kn и Р±ъп, соотношения (27.19), (27.20), справедливые для произвольного бивектора, а также используя соотношения (27.35), получаем
ftm^n = а+ Ьгпа-тп- (27.49)
Из сказанного следует
a"±fcn = a±fcwa±wn- (27.50)
Это означает, что бивектор-параметры P+kn и P-Unf определяющие матрицы a+fcn и aкомпонуются независимо друг от друга, причем справедливы групповые аксиомы для матриц a+fcn и a-kn в отдельности. Будем исходить из соотношения (27.50), которое в развернутой записи принимает вид