Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
На примере векторной параметризации группы Лоренца SO (3.1) [630—633] раскрывается до конца содержание самого понятия «параметризация группы». Она должна включать совокупность соотношений, которые устанавливают взаимнооднозначное соответствие (изоморфизм) не только между элементами группы и их параметрами, но и между групповыми операциями над ними.
Об эффективности векторной параметризации и рациональности матричной записи свидетельствуют полученные с ее помощью многочисленные результаты в теории группы SO (3.1) и их приложения: параметризация и детальное исследование малых групп Лоренца [632, 637], построение общих выражений для преобразований конечномерных неприводимых представлений группы Лоренца [638—640], построение ковариант-ных операторов проекции спина и разработка нового подхода к описанию спиновых свойств частиц в процессах рассеяния [641—644], разработка и применение методов непосредственного расчета амплитуд рассеяния [641, 642], решение узловых вопросов релятивистской кинематики [631, 644—648] и т. д.
Все это послужило основанием для распространения метода Ф. И. Федорова на более широкий класс преобразований, в частности на комплексную группу Лоренца SO(4.С). Необходимость ее детального изучения вытекает из той роли, кото-
285. рую играет в современной теории квантовых негравитационных полей (в частности, аксиоматической) метод аналитического продолжения функций в комплексную область изменения переменных. Преобразования данной группы и группы SO(3.C) нашли широкое применение при выводе и исследовании кроссинг-соотношений и других связей между S-, t- и и-амплитудами реакций, при устранении кинематических сингулярностей для аналитических амплитуд рассеяния и пр.
Распространение векторной параметризации на комплексную группу Лоренца SO(4.C) дано в работах [649, 650], где матрица общего преобразования L6SO(4.C) задана с помощью двух линейно независимых комплексных трехмерных векторов q = a+/b и g=c+/d в той же форме
L = а+ (q) а_ (q), a±(q) = , (25.8)
что и для действительной группы Лоренца (см. выражения (25.1)). Естественным образом обобщаются на случай группы SO(4.C) и все остальные соотношения векторной параметризации группы SO (3.1), в том числе и закон композиции вектор-параметров (25.4). Благодаря этому получены новые результаты как в теории самой группы и ее представлений, так и в приложениях. Например, даны общие полиномиальные выражения для конечных преобразований конечномерных неприводимых представлений данной группы [649, 650]. Из этих выражений как частный случай следуют представления преобразования Лоренца в двухмерном пространстве комплексных спиноров, определяющие преобразования универсальной накрывающей группы SL(2.C) XSL(2.C) для группы SO(4.C), выраженные через ее вектор-параметры. Показано, что такие широко используемые на практике преобразования группы Лоренца (вещественной и комплексной), как преобразования пространственных и гиперболических поворотов, преобразования малых групп и вигнеровские вращения, могут рассматриваться с единой точки зрения, а именно как преобразования с параметрами, удовлетворяющими условиям простоты [651]. Все они могут быть записаны в виде так называемых плоских преобразований. Использование характерного для векторной параметризации закона композиции (25.4) позволило представить матрицу произвольного преобразования группы SO(4.C) в виде произведения матриц преобразований с простыми параметрами [649]. Было установлено важное преимущество векторной параметризации — ее регулярность, причем условие регулярности выполняется в данном случае не только локально, но и для конечных преобразований группы и ее конечномерных представлений во всей допустимой области из-
286. менения вектор-параметров. Это позволило упростить доказательство одной из основных теорем аксиоматической квантовой теории поля — теоремы Баргмана — Холла — Вайтмана [651, 652]. Недавно новые аспекты векторной параметризации и ее приложений в физике были вскрыты на основе привлечения кватернионного исчисления [653—655].
25.2. Соотношения Кэли и лоренцевы полиномы 3-й и 2-й степеней. Матрица преобразования группы Лоренца (как и любой ортогональной или псевдоортогональной группы) может быть задана с помощью антисимметричной матрицы (соотношения Кэли [631, 656—658]). В этом случае для группы SO (4.С) получаются выражения [634, 647, 649, 657]:
L = L(A)= Е+А =2-
E-A
{?_А(Л2)с + Л2 уЕ+А)
{!--y^cf-X^
-E1 (25.9)
A = - A= L-I
Jfi + ~~ ELc (L+L) J (L -L)
2+L+L
(1 + 4- LcY- (L*)
(25.10)
Соотношения такого рода, как показано для случая группы SO (3.1), в безындексной, матричной форме [646, 659] и в явно тензорной, бивекторной форме [35, 660] существенно упрощаются, если исходить непосредственно из векторной параметризации [630—632] данной группы. Так, если в случае комплексной группы Лоренца SO (4.С) в качестве матрицы параметров вместо матрицы А (25.10) взять (см. (25.7))
В
B =
1
(<7++<7j
то общее выражение для произвольного 6SO(4.C) принимает вид [650, 651]:
