Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
5 Заказ № 28 66
Статья 1. X. Мёллер
ЛИТЕРАТУРА
1. Einstein A., Berl. Ber., 778 (1915); 167 (1916); 154, 448 (1918).
2. Lorentz Н. A., Amsterdam Versl., 25, 468 (1916).
3. К 1 е і n F., Gott. Math. Phys. Kl., 394 (1918).
4. Bauer H., Phys. Zs., 19, 163 (1918).
5. M 0 1 1 e г C., Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1, № 10 (1961).
6. MollerC., Mat., Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 34, № 3 (1964).
7. von Freud Ph., Ann. Math. Journ., 40, 417 (1939).
8. M 0 11 e r C., Nucl. Phys., в печати.
9. В о n d і H., Van Der Burg M. G. I., Metzner A. W. K., Proc. Roy. Soc., A269, 21 (1962).
10. S а с h s R. K., Proc. Roy. Soc., A270, 103 (1962).
11. Einstein A., Rosen N., Journ. Franklin Inst., 223, 43, (1937). 3. КВАНТОВАННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ Ю. Швингер J. Schwinger, Phys. Rev., 130, 1253 (1963)
Строится гравитационный оператор действия, инвариантный отяосительно общих преобразований координат и локальных лорен-цовых (калибровочных) преобразований. Для интерпретации формализма необходимо ограничить произвол в описании, наложив калибровочные и координатные условия. Временная калибровка определяется тем, что оси времени локальных координатных систем закрепляются в направлении оси времени криволинейной системы координат. Получаемая в результате форма оператора действия, содержащая вклад бесспинового поля материи, позволяет выделить канонические пары переменных. Для четырех переменных поля в силу дифференциальных уравнений связи канонически сопряженные величины отсутствуют. Эти переменные могут быть интерпретированы как смещения пространственно-временных координат. В физически выделенном классе координатных систем переменные гравитационного поля не являются явными функциями от параметров координатных смещений. Остается свобода, связанная с преобразованиями Лоренца. Операторы пространственных сдвигов и поворотов имеют правильные коммутационные свойства. Вопрос о лоренц-инвариантности остается нерешенным, так как оператор плотности энергии задан только в неявной форме.
I. Введение
Для электродинамики характерно свойство калибровочной инвариантности — свобода изменять фазу любого заряженного поля произвольно в каждой точке пространства — времени, подвергая одновременно электромагнитные потенциалы соответствующему неоднородному преобразованию. Не удивительно, что Вейль, автор принципа электромагнитной калибровочной инвариантности, обнаружил [1], что гравитационное поле также может быть охарактеризовано некоторым калибровочным преобразованием. Оно заключается в возможности свободно
5* 68
Статья 3. Ю. Ш в а н г е р
изменять в каждой точке ориентацию локальной лоренце-вой системы координат при надлежащем преобразовании некоторых гравитационных потенциалов. Подобное преобразование совершенно отлично от более известного преобразования глобальных координат. Последовательно развивая эту концепцию, Янг и Миллс 12] ввели в каждой точке пространства — времени произвольно ориентированное трехмерное изотопическое пространство, тем самым связав гипотетическое векторное поле с изотопическим спином. (Поэтому встречающееся иногда замечание, что гравитационное поле можно рассматривать как поле Янга — Миллса, довольно анахронично.)
Огромный интерес к неабелевым векторным калибровочным полям как к возможной основе объяснения сильных ядерных взаимодействий обусловил также развитие формализма релятивистской квантовой теории взаимодействующих векторных полей. Мы намереваемся здесь положить некоторое начало использованию этого опыта в более трудной проблеме «квантования гравитационного поля». Так как эта статья исходит из квантового принципа действия, она имеет несколько точек соприкосновения с имеющим аналогичное основание, но иначе развитым квазиклассическим подходом Арновита, Дэзера и Мизнера [3].
II. Принцип действия
В качестве полевых переменных для описания гравитационного поля мы будем использовать ') 4 X 4-матрицы еа^(х) и 4 X 6-матрицы (oMb(^)= — (ОцЬа (ж)- По отношению к общим преобразованиям координат эти переменные ведут себя как векторные поля
ёа» & = J^eaV(X),
— — dxv
«VЪ (я) = -=Tf ЩаЪ (я);
1J В постановке вопроса и обозначениях мы следуем предыдущей статье [4].— Прим. ред. Квантованное гравитационное поле
69
по отношению к локальным преобразованиям Лоренца — как
^ (X) = Iab (X) еъ» (х), «цаЬ (х) = Iaa' (х) W (х) О)да'Ь' (х) + W (х) OvIab' (х),
где
Iaa' (X) ga'b'hb' (X)=gab,
а gab — постоянный метрический тензор пространства Минковского.
Неоднородный член в калибровочном преобразовании ^Vxb нужно каким-то образом устранить для того, чтобы построить ковариантную величину, которую можно было бы использовать при построении инвариантного оператора действия. Это осуществляется с помощью локального спинового преобразования
L (х)-1 [Ч - -J <ЧаЬ (X) Sab 1 L (X) = JCOlieb (X) Sab,
где
L (х)-1 SabL (X) = 1аа' (х) Ibb' (х) Sa'b'.
Рассмотрим координатно-спиновый коммутатор (здесь не учитываются операторные свойства а>цпЬ)
^дц —ту IMliabSab, ду — -^iwxcdScd ] = —IBiivab (х) Sab, где
