Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так же как и в § 8 работы [6], легко видеть, что метрика (21)-(25) внутри V имеет вид разложения для слабого поля:
(0) (1) (2) gik = 4ik + Vik + Vik + • • •, (54)
(і)
где первый член ytk имеет характер плоской волны, Т. е. ytk суть функции только
и = t — X. (55)
На самом деле, из (22)-(24) следует, что внутри объема V на достаточно больших расстояниях R
(ytk = 2 Re {с (й) ItIk} + Re (н) (^(Гь+^)}+2ЛГ(ц)^ft, (56)
где M (и), с (и) и і|з(и) суть функции и, полученные из M/г, с/г и г|)/г в пределе. Далее, [хг и Ii — константы, которые получены из (23) при 0 = я/2 и ф = 0, а именно:
й = {-1, о, о, і}, (57)
Ii = {0, -і, -1, 0}.
G точностью до первого порядка мы получаем для тетрад (30) внутри объема V
1 (і)
V)i = 1fIaH-у J/«, (58)
и формула (31) для Tik = Uh приобретает вид
tf =^ip-Wf (59)
где
_ de (и
(60) du Энергия и импульс гравитационных волн
63
— производная от с (и) по и. Так как выражение (6) для tik есть однородная квадратичная функция производных первого порядка от тетрад, то второе приближение для tik (59) будет также получаться из (6) подстановкой выражений (58).
Граничные условия для тетрад, сформулированные выше, требуют, чтобы тетрады в области V отличались от соответствующих тетрад в полностью пустом пространстве на величины первого порядка малости, являющиеся функциями только й. Таким образом, разрешимыми ло-ренцовыми вращениями, кроме вращений с постоянными коэффициентами, будут такие (14), для которых
ЦаЬ> = Т1аЬ + 0(аЬ)(и), (61)
где СО(аЬ)(м) — любая функция й, являющаяся бесконечно малой первого порядка и антисимметричная по индексам а и Ь. Инвариантность приближения второго порядка в таких обозначениях устанавливается так же, как и в приложении к работе [6].
Далее, так же как в § 8 работы [6], из трансформационных свойств комплекса энергии — импульса следует его инвариантность с точностью до бесконечно малых второго порядка относительно всех инфинитезимальных преобразований координат
X'1 =Xi+ Iі, (62)
где |'(й) — функции только й. G помощью преобразований этого типа метрики (54), (56) можно привести к стандартной форме [И]. Пусть 1 (й) и Ф (й) — две функции Cl с производными
х'(U) = M (й), ф' (Z) = ^P(U). (63) Выберем в виде
Iі (U) = X (и) + Re {Ф (U)Ii) (64) с производными
= ^^ = MjIi^+ Re (65) 64
Статья 1. X. Мёллер
Компоненты метрического тензора в новой системе координат определяются из (56) и (65):
gik = gth — li,h — h,i = 4ik+(y'ik, (66)
где
(і) (і)
Vih = Vih — li, h — lh, і = 2 Re {ctih}. (67)
Итак, ввиду равенств (57) gik приобретает стандартную
(і)
форму, В которой все компоненты y'ik равны нулю, кроме
(1) (1) _ (1) (1) y«=-V»=-2Re{c}, = -2 Im {с}. (68)
В этой форме метрический тензор зависит только от физического смысла «функции информации», которая зависит от и, или
и'=х' i —X11 = Xi-Iі —(х1 +Iі) = Xi-X1=U. (69)
В системе хг компоненты тетрад /&(а)г- в (58) симметричны по индексам а и і. В новой системе (х'г), определенной с помощью (62) — (64), компоненты h\a)i не симметричны. Однако с помощью подходящего «калибровочного преобразования» типа (61), не меняющего tik, можно получить симметричную стандартную форму для компонент h(a)i вращающихся тетрад в штрихованной системе координат
4 (і)
h{a)i = Tlai + J у аг- (70)
Легко видеть, что это достигается выбором
(Oab= — yRe{^ (fijb — taH)}- (71)
Для волнового пакета, когда с' (и) равно нулю вне некоторого интервала It1 < й < U2, импульс и энергия, проходящие через единичную площадку, расположенную на плоскости yz системы х1, выразятся с помощью (57) и (59), как
u2
Pi = J Hi dx = - А щ J I ? (й) I2 du. (72)
Tn Энергия и импульс гравитационных волн
65
Поскольку tih ведет себя как тензорная плотность относительно линейных преобразований, 4-импульс этого волнового пакета преобразуется как 4-вектор относительно лоренцовых преобразований координат. Так как |лг[г® = О, то инвариантная норма этого вектора равна нулю:
'PiPi = O. (73)
Следовательно, в смысле энергии и импульса пакет гравитационных волн аналогичен пакету электромагнитных волн. В системах координат х1 и х'1 эйнштейновский комплекс энергии — импульса дает тот же результат, что и комплекс Tift- Однако ввиду трудности Бауэра последнее в общем случае неверно в системах координат, получаемых более общим инфинитезимальным преобразованием (62), в которых эйнштейновское выражение может привести к лишенному смысла результату.
Достоинство новой тетрадной формулировки заключается в том, что она позволяет последовательно рассчитывать измеримые изменения энергии и импульса физических систем в полном согласии с общим принципом относительности. Кроме возможности установить условия, при которых в данной системе координат может быть корректным применение эйнштейновского комплекса энергии — импульса, новая формулировка проясняет некоторые вопросы, остававшиеся непонятными в старой формулировке. Например, в новой формулировке можно доказать, что полный 4-импульс микроскопической неизлучающей системы, т. е. «частицы», преобразуется как 4-вектор при произвольных пространственно-временнйх преобразованиях, получающихся переходом от инерциальной лоренцевой системы координат к произвольно ускоренной системе отсчета. Это и раньше считалось справедливым, но отсутствовала возможность доказать это строго, так как эйнштейновский комплекс энергии — импульса дает в ускоренной системе отсчета лишенный смысла результат. С этой точки зрения новая формулировка представляет собой некоторое заключение прекрасной гравитационной теории Эйнштейна, которая во многих отношениях может рассматриваться как завершающий этап развития той теории тяготения, которую заложил Галилей 400 лет назад.
