Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
®ih S 9Iik-Y W = - (8)
ТО Tjft примет вид
Tih = Ui",,, (9)
с суперпотенциалом
IVii= _ Ujlft =[YwI-б^ФЧб,'®*]. (Ю)
Существенной особенностью новой формулировки является то, что Ui^ есть истинная тензорная плотность в противоположность суперпотенциалу Фрейда [7], который соответствует эйнштейновскому выражению и является лишь аффинной тензорной плотностью.
Кроме формул (2) — (10), нам понадобится еще одно допущение относительно поведения тетрадных полей в пространственной бесконечности. Форма этих граничных условий будет зависеть как от типа рассматриваемой материальной системы, так и от используемой системы Энергия и импульс гравитационных волн
53
координат. Рассмотрим островную систему, т. е. случай, когда материя заключена в конечной части пространства (временноподобная трубка с конечным пространственным сечением в 4-пространстве). Для таких систем можно полагать, что на больших пространственных расстояниях от системы пространство — время становится плоским. В этом случае естественно потребовать, чтобы тетрады Ua)і асимптотически стремились к значению, которое соответствует пустому пространству, где тензор кривизны повсюду равен нулю.
Теперь нужно устранить упомянутые выше трудности, на которые натолкнулось эйнштейновское выражение в случае полностью пустого пространства. Мы должны, следовательно, потребовать обращения Tjft в нуль во всем пространстве и в любой системе координат, что возможно, только если
Yiftz = O (И)
во всем пространстве. Таким образом, в случае полностью пустого пространства мы требуем обращения в нуль не только кривизны, но и «кручения» пространства (или тетрадной решетки). При использовании прямолинейной системы координат в совершенно пустом мире требование (11) означает, что компоненты тетрадных векторов должны быть постоянными.
В частности, в лорендевой системе координат, где
Sift = TU*, (12)
мы можем положить
hla\ = oai. (13)
В случае островной системы мы можем взять асимптотически лоренцеву систему координат, в которой gik стремятся к T]jft по мере пространственного удаления от системы. Для тетрад мы будем тогда требовать асимптотического стремления к постоянным значениям (13). Естественно потребовать для граничных условий, чтобы разность Ма~>і — б°г стремилась к нулю на бесконечности таким же образом, как и gik — т]гй. Во всех других отношениях выбор тетрадного поля вполне произволен, разумеется, при условии, что не нарушится соотношение (3). 54
Статья 1. X. Мёллер
Для данного метрического поля gik тетрадное поле определено соотношением (3) далеко не однозначно, так как независимые лоренд-вращения тетрад в различных про-странственно-временнйх точках оставляют левую часть (3) неизменной. Следовательно, тетрады определяются метрикой лишь с точностью до произвольного лоренц-вращения
= (X) h(b\, (14)
где коэффициенты ?2(»)(Ь) суть произвольные скалярные функции, удовлетворяющие в каждой то^ке условиям ортогональности.
Комплекс Tjft в общем случае не инвариантен относительно группы вращений (14), за исключением случая, когда все й(а)(Ь) постоянны. Это можно понимать как указание на тот факт, что «плотность энергии» — Т44 не является физически измеримой величиной. С другой стороны, как было показано в работе [6], полные импульс и энергия, содержащиеся в достаточно большом объеме V,
P1 = J Jt dx1 dx2 dxs (15)
V
являются инвариантами относительно преобразований (14) при учете граничных условий, сформулированных выше. Все сказанное относится и к асимптотической форме Tift, определяющей распространение энергии и импульса. С этой точки зрения тетрады суть вспомогательные величины, играющие ту же роль, что и потенциалы в электродинамике, а преобразования (14) носят характер калибровочных преобразований, оставляющих измеримые физические величины неизменными.
Описание энергии — импульса в этой формулировке можно поставить в какой-то мере в аналогию случаю общековариантного уравнения Дирака, где необходимо (или по крайней мере удобно) описывать влияние гравитационного поля на фермионное с помощью тетрад. В этом случае такие измеримые физические величины, как заряд и плотность тока, инвариантны относительно преобразований (14), тогда как сами по себе эти волновые функции не инвариантны. Единственной особенностью нашего случая является то, что «допустимые» преобразования (14) Энергия и импульс гравитационных волн
55
несколько ограничены сформулированными выше граничными условиями для тетрад на бесконечности.
Пусть F есть поверхность, ограничивающая объем V в (15), и пусть Ф (F1 t) обозначает 2-мерную поверхность в 4-пространстве, содержащую события, происшедшие в F в момент времени t в определенной системе координат. Используя (9) и теорему Стокса в 4-мерной форме, можно записать величины Pi в (15) как
Pi=~T S %MdShl=-± J At(x), (16)
<D(F, і) <H(F, І)
причем
dSm^&mndxi&x™, (17)
где dxi и Ьхт суть инфинитезимальные векторы, лежащие на поверхности Ф.
В третьей работе автора [8] было показано, что для неизлучающей системы 4-импулъс является истинным свободным 4-вектором, если только поверхность F выбрана столь большой, что Ф полностью лежит в области, где пространство — время можно считать плоским. Это важное свойство проистекает из того факта, что Uiм является истинной тензорной плотностью, в силу чего
