Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство инвариантности полного 4-импульса, так же как и доказательство инвариантности асимптотического выражения для Tih относительно всех «калибровочных преобразований» (14), которые удовлетворяют условиям, наложенным на тетрады, проводятся точно так же, как в аксиально симметричном случае (см. § 6 работы [6]).
Производная по времени от Pі определяется из (38), (28), (36) и (32):
= А 5 Moni dQ= —A J I Со І».Пі dQ=
= - J Sni dQ dy (39)
и показывает, что гравитационное излучение вызывает в системе отдачу той же величины, как если бы оно было электромагнитным.
Неизлучающие системы характеризуются обращением «функции информации» C0 в нуль. Это не означает с необходимостью, что система стационарна, но M0, несомненно, должна обращаться в нуль в силу (28). Таким образом, в этом случае компоненты Pi _в (37)._ае -.завдсят ли от t, ни от г при условии, что г фактически достаточно велико. Таким образом, Pi оказывается не зависящим от формы поверхности F.
В асимптотически лоренцевой системе координат типа (19), где gik заданы в форме (21) — (25), эйнштейновский комплекс энергии—импульса дает то же значение для 4-импульса, что и комплекс (9), т. е. мы имеем для таких систем
Pi9 = Pi- (40)
В более общих системах координат это не имеет места. Мы уже знаем, что равенство (40) не удовлетворяется в системах, не являющихся асимптотически прямолинейными, так как в них компоненты Piэ становятся неоднозначными. Даже если определить асимптотически лорен-цову систему координат как такую, в которой g^ стремятся к T]ift при стремлении Xі к пространственной бесконечности, то и в таких системах равенство (40) не будет 60
Статья 1. X. M ё л л е р
иметь места. Действительно, перейдем от (19) к новой системе координат
Xі = Xi+ Iі (х). (41)
Для того чтобы новая система была асимптотически лоренцовой, необходимо, чтобы
Iih 0 при г со. (42)
Если далее предположить, что
El
---> 0 при г —> со, (43)
то новая радиальная координата г определится из выражения
г2 = X1X1 = г2 -+ -?!^-) , (44)
которое стремится к г на бесконечности:
г —> г при г —> со. (45)
Аналогично имеем
= —->¦ щ при г ->¦ со. (46)
г
Для вычисления 4-импульса в новой системе координат
Pi=-Jui4W2CZQ (47)
необходимо знать величину суперпотенциала на больших пространственных расстояниях, где (41) при условии (42) можно понимать как инфинитезимальные преобразования. Так как Ujft' является истинной тензорной плотностью и Uift' = O2, мы имеем
U1" = Ui" + O2, (48)
где O2 — величина, стремящаяся к нулю быстрее, чем г-2 при оо. Следовательно, при учете (45) и (46) разность Pi — Pi стремится к нулю с возрастанием радиуса, откуда мы заключаем, что полный 4-импульс неизлучающей системы инвариантен относительно всех преобразований типа (41) — (43):
Pt = Pf (49) Энергия и импульс гравитационных волн
61
Теперь легко видеть, что эйнштейновское выражение Р(э, вообще говоря, не обладает этим свойством, так как суперпотендиал Фрейда не является истинной тензорной плотностью. Возьмем для примера случай ? (X) = X1 f (г), C4 = O, / (г) -> 0 при Г ->- OO .
Тогда прямое вычисление метрики и суперпотенциала Фрейда на больших пространственных расстояниях дает для полной энергии в новой системе координат, согласно эйнштейновскому выражению,
H9 = -Tl = H9 + |-г3(/' (г))2 Ir^00. (51)
При г-*- оо последний член может принимать любые значения от нуля до бесконечности в зависимости от того, как именно / (г) стремится к нулю при гоо. Поскольку этот член не зависит от параметров материальной системы, то он будет присутствовать и в случае полностью пустого пространства, откуда ясно, что мы столкнулись здесь просто с новой формой давно известной трудности Бауэра. Выражение (51) стремится к нулю на пространственной бесконечности, только если / (г) стремится к нулю быстрее, чем г-1/» при гоо. Таким образом, мы приходим к заключению, что эйнштейновское выражение для комплекса энергии — импульса дает правильное значение 4-импульса только в таких асимптотически лоренцовых системах координат, для которых разность gik — г] гд стремится к нулю быстрее, чем г"1/2- Во всех других системах координат этот комплекс приводит к бессмысленному результату.
В противоположность неизлучающим системам, 4-им-пульс в которых является свободным вектором, Pi для излучающих систем преобразуется достаточно сложным образом даже относительно линейных пространственно-временнйх преобразований [6]. Это и не удивительно, так как уже в специальной теории относительности векторный характер 4-импульса тесно связан с его сохранением.
Исследуем теперь характер гравитационных волн, испускаемых произвольной материальной системой. Рассмотрим пространственный объем V с линейным размером 62
Статья 1. X. Мёллер
I, удаленный на большое расстояние от материальной системы, так что
/ « R. (52)
Если объем V содержит точку x = R, у = Z = 0 на положительной полуоси системы координат (19), то удобно ввести новые координаты
xi = {x,y,z,t} = {x — R,y,z,t}. (53)
