Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
д) по отношению к метрическому тензору формализм должен давать те же самые результаты, что и теория Эйнштейна в тех случаях, в которых эта теория проверена экспериментально. В частности, из него должна следовать ньютонова теория тяготения в пределе слабых квазистационарных полей.
Свойства а — д могут служить путеводным принципом в поисках подходящего лагранжиана.
Эта программа была осуществлена Пеллегрини и Пле-баньским в интересной работе, которая в настоящее время готовится к печати в трудах Датской академии наук 46
Статья 1. X. M ё л л е р
[10] *). Авторы показали, что искомый лагранжиан имеет вид
S = Zc1S^Zc2S2, (2.38)
где
Й2 = [/г|л""ФгУча. (2.39)
a Zc1 и Zc2 суть константы, из которых первая опять связана с эйнштейновской гравитационной постоянной соотношением (2.30). Если положить
- = &а)\ = = VzrSFih, (2.40)
то уравнения поля (2.7) можно при помощи (2.28) и (2.40) записать в виде
Gih + ^Fik=-xTih. (2.41)
Далее, если обозначить симметричную и антисимметричную части Fih как
1 1
F(ik> = у (Fih-і-Fhi), ^[ife]= у (Fih — F ki), (2.42)
то 16 уравнений (2.41) разбиваются на две группы, содержащие соответственно 10 и 6 уравнений
Gih + ^ F<ik>=-xTik, (2.43)
= (2.44)
Здесь мы использовали симметрию тензоров Gih и Tik.
Шесть уравнений (2.44) аналогичны дополнительным уравнениям (2.32), используемым в работе [1], и в приближении слабого поля совпадают с ними. Аналогично 10 уравнений (2.43) в пределе слабого поля совпадают с уравнениями Эйнштейна [10]. Таким образом, уравнения (2.41) или (2.43) и (2.44) содержат теорию Ньютона в пределе, указанном свойством д.
В общем случае уравнения поля (2.41) содержат дополнительную константу к2Ы, которая пока не была заме-
1J Эта работа уже опубликована. При переводе ссылка на нее была уточнена.— Прим. ред. Законы сохранения в тетрадной теории гравитации 47
чена в каких-либо гравитационных явлениях в пределах нашей Солнечной системы. Поэтому на первый взгляд могло бы показаться, что It2 должна быть малой по сравнению с к. Однако это отнюдь не необходимо. Как было замечено выше, в приближении слабого поля константа ki выпадает и решение уравнений (2.41) оказывается таким же, как было получено в работе [1], т. е. в гармонических координатах решение дается выражением (2.35). Но и в статическом сферически симметричном случае решение уравнений (2.41) или (2.43) и (2.44) совпадает с полученным в [1], именно получается решение (2.33), поскольку при = V \ как можно показать,
тензор ft, определяемый соотношениями (2.40) и (2.39), обращается в нуль [10]. Кроме того, поскольку упомянутые два случая являются единственными существенными в смысле эффектов, доступных пока что экспериментальной проверке, не удивительно, что члены, содержащие новую константу A2, не были до сих пор обнаружены.
В этой связи может возникнуть мысль, что изменения обнаружатся в области космологических вопросов. Однако для однородной изотропной модели вселенной, как легко показать, уравнения (2.41) приводят к той же самой метрике, что и обычная теория Эйнштейна. Для однородной изотропной системы всегда возможно ввести систему координат, в которой линейный элемент имеет вид
ds2 = G2 (t) A2 (г) (dx12 dx22 + dx32) - dxi2 =
= g(U)bIkdxi dxk, (2.45)
A M = T^T' ^2=HH2-
г
Тогда, используя явное выражение для данное Пел-легрини и Плебаньским [10], легко показать, что тетрадное поле
ht = VTfai Ьї (2.46)
дает
Stft = Ol (2.47)
так что (2.46) есть решение (2.43) и (2.44), если G(t) — функция временной переменной, отвечающая обычному решению Фридмана. 48
Статья 1. X. M ё л л е р
Соответствующий лагранжиану (2.38) суперпотенциал (2.14) теперь будет иметь вид
(1) (2)
Ui'" = Wifei + Wjiii1 (2.48)
(і)
где Ujfej заданы соотношениями (2.31), а
\Vkl _ Sk2Z2 ,(а) Ui - Пі -
= к21 h І {(6іУ- Shkr") Yref + gir®s4rsM}. (2.49) В статическом сферическом симметричном случае при помощи (2.33) находим
S'", г = о, (2.50)
так что комплекс энергии — импульса сводится к комплексу
Jik=%kl,i, (2.51)
который был получен в работе [1]. То же самое справедливо и в случае слабого поля в приближении первого порядка малости по переменным поля. В приближениях высших порядков данное Пеллегрини и Плебаньским [10] выражение для комплекса энергии — импульса несколько отличается от выражения, полученного в [1] (на члены, зависящие от константы Zc2).
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что тензор материи (2.6) симметричен, что обычно имеет место. В статье Пеллегрини и Плебаньского [10] отмечается, что уравнения поля (2.41) остались бы справедливы и в случае, когда Xiь не симметричен. В качестве примера они рассматривают фермионное поле с лагранжианом, инвариантным не относительно полной группы тетрадных вращений (2.3), а лишь относительно вращений с постоянными й(а)(Ь). В этом формализме, который, по-видимому, непротиворечив и более прост, чем обычная ковариант-ная теория фермионных полей, %lh несимметричен. Антисимметричная часть ?[ігф тесно связанная со спином системы, здесь фигурирует в качестве источника в правой части (2.44) аналогично тому, как симметричная часть ?<ife>, т. е. тензор энергии — импульса — натяжений материи, является источником в уравнениях (2.43). Законы сохранения в тетрадной теории гравитации
