Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ai (х) = Uihl dSkl (18)
есть истинный вектор в точке X на Ф, и из того, что сумме векторов А і (х) можно придать однозначный геометрический смысл с помощью параллельного переноса векторов Ai (х) к общей точке р в плоской области. В асимптотически лорендевой системе координат компоненты 4-импульса P (р) не зависят от точки р и равны просто алгебраической сумме компонент Ai (х), т. е. интегралов (16). В ограниченном классе асимптотически лорендевых систем координат, т. е. таких, в которых gik стремятся достаточно быстро к r\ih при увеличении пространственных расстояний, эйнштейновское выражение Pi для 4-импульса дает тот же результат, что и (16). Когда система координат не является асимптотически прямолинейной (например, во вращающейся системе отсчета), эйнштейновское выражение оказывается лишенным смысла, компоненты же P (р) в нашей 56
Статья 1. X. Мёллер
формулировке без труда находятся при помощи закона преобразования ковариантного вектора в точке р.
В работе [6] гравитационная энергия и импульс, излучаемые аксиально симметричной системой, были вычислены при помощи асимптотических решений эйнштейновских уравнений поля, полученных Бонди с сотр. [9]. В настоящей статье мы дадим набросок соответствующих вычислений для произвольной материальной системы, опираясь на асимптотические решения, полученные Саксом [10] для излучающей системы, лишенной какой-либо симметрии. В определенном классе асимптотических лорен-цевых координат
х' = {х, у, z, t), r = \rx* + y* + z* (19)
метрический тензор gik на больших пространственных расстояниях представляется в виде ряда по степеням 1 /г. Если б И ф — полярные углы и
Щ = -у-= {sin 0COS ф, sino Sin ф, COS0},
u = t — r, (20)
то асимптотическое решение Сакса может быть записано в виде
gth = Лій + Уа+ Zth + O3, (21)
УК = -*?-, = (22)
где Ojft(M) Э, ф) И ?jft (в, 0, ф) — функции только от и, 0 и ф. Далее On означает выражение, стремящееся к нулю как г~п при г —> оо. Если мы введем величины
пг = {гаг, 0},
ГПі = {cos 0 COS ф, cos 0 sin ф, —sin 0, 0},
(23)
It = { — sin ф, соэф, 0, 0}, щ = ті? — щ, ti = mi — ili, то явными выражениями для aih и ??ft будут следующие: aik = 2Re {сіл} + Re {і|> (іцік + M*)} + (24)
?ift = 21 с I2 (JniInk + IiIk) + "2" I с I2 (Піц* + (ijraft) — Энергия и импульс гравитационных волн
57
Здесь
-Re {(2ЛГ + 4-ЛМ2) (ііЩ + М*)} +
+ Re {A* (N sin 0)} (25)
оператор,
А = (26)
^=iwA*(csin9)' (27)
с (и, 0, ф) и N (и, 0, ф) — комплексные И M (и, 0, ф) — действительная функции переменных Ut 0 и ф, которые зависят от типа рассматриваемой материальной системы. Эти функции связаны между собой дополнительными соотношениями
M0=-Ic01*+-^-A0,
(28)
SN0 = — ДM- (4с cos 0 + Ac + ЗсА) 4,
где
^ = ^FRe{A*T^sin0)>' (29)
а нулем в индексе помечены частные производные по запаздывающему времени и; «звездочка» имеет смысл комплексного сопряжения, а Re { } обозначает вещественную часть комплексной функции. В противоположность аксиально симметричному случаю «функция информации» C0 будет здесь комплексной, т. е. мы имеем две «функции информации» в общем случае, рассмотренном Саксом.
Как и в случае аксиальной симметрии, исследованном в работе [6], мы должны теперь для больших г выбирать тетрады в виде
A(O) і = Гіаі + 4" Уаі + \ (? - \ УагУ\ ) + O3t (30)
а вычисления комплекса Т? и суперпотенциала Ujft' для больших г проводить точно так же, как в [6]. Для Т? мы получим (ср. с формулой (4.37) работы [6])
Ті*== W (^'")0 ^fifc + C3 = Ц^ ^ft + O3- (31) 58
Статья 1. X. Мёллер
Различие между (31) и соответствующей формулой для аксиально симметричного случая сводится лишь к тому, что квадрат вещественной «функции информации» заменен у нас на квадрат комплексной величины с0. При достаточно больших значениях г последним членом в выражении (30) можно пренебречь, и по аналогии с формулой (4.41) работы [6] мы получим для величины гравитационной энергии, испущенной через элемент поверхности сЮйф достаточно большой «сферы радиуса г», выражение
S dB dq> = - T\nhr2 sin 0 dQ dy = ^^ (32)
Полная энергия, излучаемая сферой в единицу времени, будет, следовательно, равна
я
J SdQdy = +- J Iс012sin9йв. (33) о
Для 4-импульса, заключенного в сфере достаточно большого радиуса г в момент времени t, получаем из (16)
P1 = J UtWrz dQ = - J Ut'w* qQ. (34)
Вычисления, аналогичные проведенным в приложении к работе [6], приводят для подынтегрального выражения в (34) к~ выражению
- Ui4V* = ~ [(- 4M + Re {А}) щ - Re {4?,}] + O3. (35)
Отсюда, отбрасывая снова O3 для достаточно больших г и интегрируя по частям, легко получить равенства
AiIi dQ = ^ iff, dQ = 0. (36)
Следовательно,
P1= -A J MfXidQ = {Ph -H). (37)
Таким образом, «полные» импульс и инергия определяются через функцию M (и, 0, ф) соотношениями
Pi = ^l M (и, 0, Ф)п,<ЙЗ,
(38)
л
H = Tn(U) = -+- J M (и, 0, ф)сЖ2. 'о Энергия и импульс гравитационных волн
59
Последнее находится в согласии с определениями Бонди и Сакса.
