Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
49
Остается выяснить, соответствует ли это обобщение формализма, дающее дополнительный член в «законе сохранения» (2.11), чему-либо существующему в природе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Meiler С., Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1, № 10 (1961),
2. Melier C., Ann. Phys., 4, 347 (1958).
3. M 0 11 e r C., Selected Problems in General Relativity, Summer Institute in Theoretical Physics, Brandeis University, 1960.
4. Meiler C., Nat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 31, № 14 (1959).
5. Meiler C., Ann. Phys., 12, 118 (1961).
6. Magnusson M., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 32, № 6 (1960).
7. Weitzenbock R., Invariantentheorie, Groningen, 1923, S. 317; Berl. Ber., 446 (1928).
8. Belinfante F., Physica, 6, 887 (1939).
9. R о s e n f e 1 d L., Mem. Acad. Roy. Belg., 18, 6 (1940).
10. P e 11 e g r і n і C., P 1 e b a n s k і J., Mat. Phys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 2, № 4 (1963). 2. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС, ПЕРЕНОСИМЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫМИ ВОЛНАМИ
X. Мёллер
С. M 0 і 1 е г, Atti del convegno sulla relativita generale: problemi dell' energia e ondre gravitazionali, v. II, Roma, 1964, t. 1, p. 21.
В общей теории относительности материя неразрывно связана с гравитационным полем через эйнштейновские уравнения поля. По этой причине нельзя ожидать, что законы сохранения энергии и импульса будут независимо строго выполняться для системы только материальных тел. Но, как на первых этапах развития теории показали Эйнштейн [1], Лоренц [2], Клейн [3] и другие, для полной системы, составленной из материи и гравитационного поля, строгие законы сохранения существуют и имеют вид
является суммой тензорной плотности энергии — импульса материи %ih и величины іД которая зависит только от переменных гравитационного поля. Из формулы (1) видно, что %tk или в особенности гравитационная часть tih не могут являться истинными тензорными плотностями. В самом деле, Ttk будет только аффинной тензорной плотностью, которую Лоренц назвал комплексом энергии — импульса.
Впервые явное выражение для комплекса энергии — импульса через компоненты метрического тензора и его производных дал Эйнштейн. При этом Эйнштейн сумел показать, что оно приводит к удовлетворительным выражениям для полной энергии и полного импульса замкнутых систем в определенном классе координатных систем.
(1)
Здесь
h
(2) Энергия и импульс гравитационных волн
51
Относительно распределения энергии в пространстве Эйнштейн пришел к выводу, что оно не имеет точного физического смысла в рамках общей теории относительности, и это, по-видимому, находится в согласии с фактической ситуацией в вопросе измеримости гравитационной энергии внутри малой области физической системы.
Однако даже если ограничиться рассмотрением полной энергии системы и ее возможных изменений во времени (например, подсчетом излучения энергии некоторой островной системой), выражение Эйнштейна все же не вполне удовлетворительно. Во-первых, оно не согласуется с общим принципом относительности, согласно которому любое соотношение между измеримыми физическими величинами, такими, как полная энергия и компоненты метрического тензора, должно иметь один и тот же вид во всех системах пространственно-временнйх координат. Как впервые заметил Бауэр [4], это наиболее резко выявляется при рассмотрении тривиального случая совершенно пустого пространства с плоской метрикой, где эйнштейновское выражение, будучи вычислено в полярной системе координат, дает бесконечное значение для полной энергии в противоположность правильному нулевому значению, получаемому при использовании декартовых координат. Аналогичные лишенные смысла результаты получили при использовании большинства других систем координат. Таким образом, возникает необходимость выяснить вообще, в каких системах координат применимо эйнштейновское выражение, а для этой цели нужно фактически иметь общековариантное выражение, с которым можно было бы его сравнивать.
В двух недавних работах [5, 6) было предложено новое выражение для комплекса энергии — импульса, которое дает полные импульс и энергию произвольной островной системы, вполне согласуясь с общим принципом относительности. В противоположность старому эйнштейновскому выражению, являющемуся функцией метрического тензора и его производных, новое выражение для Tjft (или t/1) дано в виде функции от тетрад связанных с метрикой соотношением
Mahh(a)k = gik-
(3)
4* 52
Статья 1. X. M ё л л е р
(Индекс а, пробегающий значения 1—4, нумерует четыре тетрадных вектора в каждой точке пространства — времени. Поднятие и опускание его производится по правилу, введенному в специальной теории относительности для поднятия и опускания индексов.) Если ввести тензоры
ЇШ = A(aV*(a)ft; I = —Уми ФЙ = YiW = ^iW; і ( >
и символы
A»w = A(a)lA(o)fttIf = (5)
то новый комплекс tth может быть записан в форме
= -Ш-1 YkmiA1mi - Ф1Акц + Д'„Ф*] б, ftS, (6)
где
SH^IhWsr-ФГФГ] (?)
есть новый лагранжиан гравитационного поля. Далее, если исключить Zk из (2) с помощью эйнштейновских уравнений поля
