Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду произвольности функций (X) внутри области Q приходим к тождеству
г«Ч)А-о. (30)
Выражение (20) для вариации V может быть также записано в виде
I [#"(?] ^ + 5?"?-
(31)
Подставляя выражения (25) и (26) для бYa и OVf в (31), получаем соотношение, содержащее ?г и их производные первого и второго порядков. После некоторых преобразований и использования тождества (30), соотношение (27) может быть записано в виде
-SiklfcSi- [Sf- Vf',,] Iilft+ + [Vkt + & ,1 + VtlrV,k ,1 ,т = о, (32) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 93
где
S.k =
MLUAk,r_w__IVA,
6ya u t +
1 6^-Yftl-Vbl (33)
dYk л
і/ klm T7 kml Afc
Vi =Vi = u і——a • (35)
0YI ,m
Так как уравнение (32) должнр удовлетворяться при произвольном выборе функций I1 (X), получаем следующие тождества:
Sikyk = О, (36)
Sik = Viklih (37)
Vkl ± Vilk + (Viklm + VilkmU = 0, (38)
(39)
Vklm+Vink+VTkl = O,
Y klm_у kml
Тождество (36) показывает, что величина Sk, определяемая формулой (33), удовлетворяет дивергенциальному соотношению, и использованный метод приводит однозначно, с точностью до постоянного множителя, к выражению (33). Если бы нашей целью было лишь получение соотношений (33) и (36), можно было бы получить этот результат гораздо проще из рассмотрения «жесткого инфи-нитезимального параллельного смещения» системы координат, когда величины ?г являются постоянными е\ Тогда из (25) и (26) получим
бYa = - YU\ Syf= - YtiiEi. (40)
Подставляя эти выражения в (31) и (27) и учитывая тождество (30), получаем непосредственно
-EiSikik = о, (41) 10O
X. Мёллер
откуда, вследствие произвольности ПОСТОЯННЫХ 8і, приходим к (36).
Из тождества (39) получим
(VimklH-J Viklm^i ^(Vi^+V^+Vi^h >rn = 0. (42) Таким образом, если ввести новую величину Uk\ положив
JJkl = у kl __ 2 ^ vrnkl + | у klrn ^ (43)
то из равенств (37) и (42) получим
Sih = UiklJ. (44)
Это выражение имеет то преимущество, что величина Ukl антисимметрична по индексам киї, так что тождество (36) является непосредственным следствием (44).
Действительно, на основании (43), (38) и (39) получим
U hl+ Uilh =Vikl+Vih-- 4 [ Vimkl + Vimlk + ± (Viklm + Vilkm) ] m =
= [ Vimkl - 4 Vimkl - 4 (Viklm + Vilmk) ] m = О,
т. е.
Uikx= -Uik. (45)
Поэтому можно записать Ukl в явно антисимметричной форме
Tjkl 1 /Г 7 kl JJ Iks 1 /Т/ kl Т /№\ 1 /I T klm T / IkrriK
Ui =Y^Ui -Ui ) = y(l/i —Vi )--6 (Vi —Vi ),m5
где последний член получается из первого путем взаимной замены индексов k и /.
Итак, метод бесконечно малых преобразований однозначно, с точностью до произвольного постоянного множи- 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 95
теля, приводит к величине Si, удовлетворяющей соотношению (36) и на основании равенства (44) связанной с «суперпотенциалом», определенным соотношениями (43), (34), (35) или (46).
Изложенные выше соображения легко обобщить на случай, когда величина V является функцией переменных Ya и их производных сколь угодно высоких порядков. Тогда вариационная производная V по переменным Ya определяется равенством
.............. <«>
Ti^ О 1I*12.....гп
(Здесь производится суммирование по п и для каждого п независимое суммирование по индексам Z1, /2, ..., in.)
Если V не зависит от производных Ya выше второго порядка, определение (47), очевидно, сводится к (18). Мы вводим подобным же образом вариационные производные от V по Yf, YAk, ... с помощью равенств
6V _ дУ ( дУ ^ _
А KdYf, Aii + "'
бY- dY - -
1 I UIl I >1\
-S<-'Ksff^r),.......
п^О г» .......%п
У—( dV Л + =
(48)
,k dYt,k х і ,k ,І1
-at-'rC^.f ,).,,.....
U^О 1 >k >гЬ ¦ • •» ln
В этом общем случае метод бесконечно малых преобразований приводит к следующему комплексу энергии-импульса Su удовлетворяющему соотношению (36):
ЬУ Afe , OV л/А . OV VA . xfeT
OV Afe , V / bV \\M cfcT
"^+2(^-.....«n-OiV. (49)
av- v
n>0 k >'i» • • •» 10O
X. Мёллер
Прежде всего, ясно, что тождество (30) остается справедливым, так как соображения, приведшие к уравнениям (27)-(30), остаются в силе. Тогда, если рассматривать жесткое смещение при I1 = E1 = Const, когда
SYfu ...,In= -YftIl.....InBi, (50)
легко заметить, что соотношения (41), а следовательно, и (36), удовлетворяются и в этом случае при Sii определяемой равенством (49).
§ 3. Гравитационные поля
Известно, что гравитационное поле может трактоваться как лагранжева система с плотностью лагранжиана
S = Vz^ggik(T1ihTZ - ТТіГІп), (51)
где Г^—символы Кристоффеля. Действительно, если все вариации переменных поля glh обращаются в нуль на границе области Q в четырехмерном мире, то получим
8\2dx=\jTk6Sihdx = 5 @iftbgihdx, (52)
fl Q^ ?
где
= Vz^g Gik = v~g (Rik-JgikR). (53)
Поэтому уравнения поля имеют вид
^=^=-^7^ (54)
Из сравнения уравнений (54) и (17) видно, что речь идет о частном случае систем, рассмотренных в § 2. Здесь переменными поля Ya являются величины gih, а V — й/х есть функция Ya и лишь первых их производных. Следовательно,
