Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Новейшие проблемы гравитации" -> 32

Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.

Иваненко Д. Новейшие проблемы гравитации — Москва, 1961. — 489 c.
Скачать (прямая ссылка): noveyshieproblemi1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 142 >> Следующая


•Цг =V~gTlk. (83)

Во всех случаях на практике gj? не зависит от g\k:

9tt = W\Qa,Qai). (84)

Это позволяет выводить как уравнения гравитационного поля (2), так и уравнения поля материи (82) из вариационного принципа

б ^ = 0 (85)

при независимом варьировании glR и Qa.

Мы можем теперь применить общие рассуждения § 2 к незамкнутым системам, для которых

Г3*; (86)

Ya= {gth, Qa).

Как мы увидим здесь, этот путь ведет к частному случаю известного соотношения между симметричным и «каноническими тензорами материи, открытого Розенфельдом [13] 102

X. Meллєр

и Белинфанте [14]. Полагая V = SJMgifttQatQai), основании (33), (70) и (83), получаем

Si" = - 21f—g Tt-|р- + ^g- Q?i - ЗИ0І- (87)

С другой стороны, в данном случае из (44) и (46) следует J1M 1 Г да» ,.aft аз» at 1

U i=2 L^T" 1~Жи iJ'

QQal д(?к

Sih = VihlJ

(88)

Таким образом, из (87) и (88) получим

If—g т\ = Vz^g (Tki + тї), (89)

где

V—gfU^Q^-^) 61 (90)

1 Г ^(TO ^ ада/2) , і 91

2 L d<$ " i iJ/ (У1)

Здесь Ti, вообще говоря, несимметричный канонический тензор материи, получаемый из «лагранжиана материи»:

Scno=_S* f (92)

а Ti—член, который необходимо прибавить к Ti с тем, чтобы получить симметричный тензор материи Ті. В равенстве (91) первый член правой части равен нулю вследствие удовлетворения уравнений поля (82), а последний член в случае материальной системы, локализованной в конечной области трехмерного пространства, не вносит вклада в полные энергию и импульс материи. В самом деле,

P(m) = i J y—jj т\ dx1 dx2 dx3 =

^ JL J j/^ Tj d*1 d*2 З*3 - 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 103

~І 5 dxl dx2 dx% = T \ ^ ~~ g dxl dx2 dx%' (93)

Вообще говоря, Р\т) не является постоянным во времени. В замкнутой системе сохраняется лишь сумма частей, соответствующих материи и гравитационному полю, т. е.1)

Pi=I ^ %\йхг<1х* dx3 =

= т ] [Т* + 'ї]dxl dx2dx*- (94)

Для примера рассмотрим случай, когда поле материи представлено лишь электромагнитным полем. Тогда мы имеем

Ш=-J V=g grlgSmfrsFlm,

(95)

Fik = A k,і —Aitk = — Fki.

В качестве переменных поля Qa возьмем компоненты вектор-потенциала Ai. Тогда

ж=0- Ibj=-2^fik' W

а уравнения поля (82) суть уравнения Максвелла

^ = У'—g ^) = 0. (97)

Далее, исходя из равенства

_ S(K^gVm) =

=^ (oioi+o^)+grt (ЬЖ+ЫЬТ)] 6gih,

справедливого при любых вариациях g%h, из (83) получаем

і/— -г = J®L_±F р a(/=gg"g™) _

У б 1 ih ggik — 2 rs Lm dgik

= V~g[FuFi-\giuFlmFlm]. (98)

1J В связи с этим замечанием о неодинаковой природе склады-

ваемых здесь величин см. Д. Иваненко и Н. Мицкевич,

ЖЭТФ 37, 868 (1959).—Прим. ред. 10O

X. Мёллер

Это обычное выражение тензора энергии-импульса электромагнитного поля.

С другой стороны, на основании (90), (95) и (96) канонический тензор равен

і/-^k д(Ш/2) А

= - V=I FlkA M - ^EL Flm Flm ol (99)

Он отличается от (98) членом V — gT\, заданным равенством (91). Так как Ai является четырехмерным вектором, при бесконечно малом преобразовании его имеем

бAr= -А&г-АгЛ1 = »г\&--Аг л1\ (ЮО)

т. е.

,aft _ ,ft aft л

U і = Ur і= — OrAi. Таким образом, на основании равенств (91) и (96) имеем

1 Г д (ТО/2) д(Ш/2) д1д "і _

+т L длгл °г л* ~ ~та~ 0rAi Jil-

= iV~=g Fk 1X1A1 - 4 [ FhlAi - V~g FlkAi ]

ИЛИ

V^gThi=-V=HFhlAitl. (101)

Складывая выражения (99) и (101), мы снова получаем выражение (98) для симметричного тензора материи в соответствии с общим уравнением (89).

В заключение резюмируем основные результаты предыдущих параграфов. Плотность полного псевдотензора энергии и импульса %ik может быть записана как сумма двух частей, соответствующих материи (Ti) и гравитационному полю (tf):

Xi1 = VzrSlTUtikI (102) 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 105

где, на основании равенств (89)-(92),

"У,h

1 Г „«* es«» al дй™ -1 ah «fi««» , ,

+т[м* lojrlojrJii+* -OQ^

и, на основании равенств (72)-(78),

1/"=^ tf = - ^ + 2 V^gtf - (0^;' - 6^"),, =

-я( в««* +La*? UfilAiJ * +

^-««?)• (104)

0Sk ,1 >

Если не считать последних двух членов, не вносящих вклада в Р(™\ отвечающая материи часть (ЮЗ) полного

псевдотензора энергии-импульса обладает канонической формой, соответствующей лагранжиану материи ?(w> = — ЗОЇ/2. С другой стороны, отвечающая гравитационному полю часть (104) обладает совершенно иной структурой и не может быть выведена из плотности лагранжиана согласно обычным правилам. Это обстоятельство может указывать на возможный факт, что «квантование» гравитационных полей должно производиться иным путем, чем по известным правилам обычной квантовой механики. Верно также, что величина ]/ — gtf в (104) может быть записана в виде

V~g /і = (105)

где

^w = Aifcl-0?Агг1 + 0|АгГк (106)

есть величина, антисимметричная по индексам k и L Поэтому при интегрировании по частям полные энергия и импульс гравитационного поля принимают вид

pW = Ij /і4 dx1 dx2 dx3 =

= Y [ VzrS Wdx1Wdx*+ Ai, (107)
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 142 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed