Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
X. Мёллер
§ 4. Точные «плоские» гравитационные волны
Единственные известные нам точные решения уравнений поля для пустого пространства — это «плоские» волны Бонди [17] и цилиндрические волны Эйнштейна и Розена [16]. Бонди берет интервал в форме
ds2 = gik dx{ dxk = dx2 + dy2 + dz2 - с2 dt2 + + 2а(ydy-zdz)du- [^(У2 - z2) + a2 uv'j du2. (51)
Здесь
х% = у, z, et], U = X^ct, и = х+ et (52)
и а = а (и) — произвольная, дважды дифференцируемая функция от и.
Чтобы gik при фиксированных у, z и t оставались регулярными для всех значений х, функция а при и = 0 должна обращаться в нуль, а при и—оо должна стремиться к нулю быстрее, чем 1 /и2, т. е.
— —> const При и—> О, " (53)
CL2U2 const При и—> ± оо.
Таким образом, среди многих различных волн типа Бонди нет монохроматических волн; более того, все они имеют характер волновых пакетов.
Путем элементарного расчета, обозначая
a = + (54)
получаем
g = det {gik} = -1, Ai^gn = {а, -сiy, uz, — (1 + a)}t (55)
= a*ah eW^Jljib2"]'
где a{ и Є(і) определены согласно (40) и (32). Таким образом, Ї4 не зависит от у и z, и поток энергии всюду параллелен оси х. Скорость распространения гравитац1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
ной энергии имеет, согласно (22), контравариантные компоненты
= = 0,0} <56)
и, таким образом, представляет собой некоторый пространственный вектор, всюду имеюший направление положительной оси X. Далее,
YtK = gtK — ^*4 -
ёи
(l + ау1 ш/(1 + а)'1 - Ctz (1 + а)'1
= ( ay (1 + a)"1 l+aVO + a)"1 -a2t/z(l + а)"1 ) (57)
ч - az (1 + я)"1 - а2уг (1 + я)"1 1 + а2*2 (1 + а)"1;
и величина скорости распространения энергии
= |/"YiK WiaWt-C Уъх = у== • (58)
Скорость светового луча в направлении, определяемом единичным вектором е (см., например, [18])
!+Y1
где
?i4 С а —а у
Yi----1- -
V-
L« , -^L, (59)
\/1 +а' V\+a /і+aj V ;
представляют собой компоненты гравитационного вектор-
-потенциала. Единичный вектор в положительном направлении оси X имеет компоненты
= °> о} = {і/Г+7, о, о}. (60)
Отсюда
Yi*1 = Yi =
/л\ с l/"l+а с /С1Ч
ш(е) = , , —= - (61)
w 1+а /l+а V '80
X. Meллєр
Сравнение с (58) показывает, что гравитационная энергия распространяется всюду со скоростью света в положительном направлении оси х.
Из (57), или проще из (17), следует, что
у=(1 + а)'К (62)
Таким образом, для плотности энергии и потока энергии получаем
h= -Jpr = -L=-^-[аЩ,
Y У nVl+aduv J'
5 = ch б11. (63)
Знак h определяется частным дифференциалов: d[a2u]/du. В волновом пакете, для которого а равно нулю вне интервала
U1K и < и2, (64)
(d/du)[a2u] внутри интервала (64) должно быть знакопеременной функцией. Таким образом, при постоянных t, у и Z величина h меняет знак при возрастании х внутри волнового пакета. Полная же энергия внутри цилиндра с осью, направленной вдоль х, и с площадью основания dy dz всегда равна нулю, так как
х2 Х2 dydz ^ h\/ydx = —dydz ^ %\dx =
X1 X1
U2
= dydz^\^du = ^dydza2u\l*i = 0. (65)
U1
Этот результат, очевидно, имеет место для всех волн, которые удовлетворяют условию регулярности (53).
Рассмотрим, далее, элемент поверхности da, расположенный в фиксированном месте системы отсчета перпендикулярно к оси х; тогда полная энергия, протекающая через него за время прохождения волны, есть
H uI
^dtSyi doK = dydz-^- J ^ [a 2u]du =
11 U2
=-^dydza2K |? = 0. (66)1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
Итак, полная гравитационная энергия, которую несут волны Бонди, равна нулю.
Если для интервала (51) рассчитать эйнштейновские величины ©4, то снова получаются значения (55). Таким образом, ©4 и здесь случайно оказываются одинаковыми.
§ 5. Цилиндрические гравитационные волны
Цилиндрические волны, которые впервые были выведены Эйнштейном и Розеном [16], исследовались затем Розеном [19], а также недавно Вебером и Уилером [20]. Используя цилиндрические координаты
Xi = {г, ф, г, Ct), (67)
можно привести интервал к следующему виду:
ds2 = gik dxl dxk = = е2 <*-*> (dr2 - с2 dt2) + г2е-^ dy2 + dz2, (68)
где % и г|> —функции rut. Уравнения поля для пустого пространства (Tt — 0) сводятся к следующим уравнениям для % и ?:
+ = (69а)
%'=r(\|>'а + Ф2). (696)
X = 2л|/гр. (б9в)
Здесь штрих и точка означают частное дифференцирование соответственно по г и ct.
Как уже было показано Розеном и Вебером и Уилером, величина ©J со значениями gik из (68) всюду равна нулю. Однако вследствие неоднозначности величины этот результат не имеет точного физического смысла. В противоположность ©J, как мы сейчас увидим, а вместе с ним и плотность энергии h не всюду обращается в нуль.
6 Заказ № 73810O
X. Мёллер
Простой расчет с gik из (68) дает
g = -/^(X-Wj у = T2^x-W, Л = Ai= {О, О, О, -*2<Х-*>};
(70)
vkl .
A4
У ~8 (An ,т - Am >n) g^gin = = (71)
SJ = Xi1.,= {^-(х'-П о.о, -|[r(x'-tI,')]'} ;
?их'-1>')]'
h = —__
Yy
6t ~ Г(Х'-Г) S1 = — *