Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Новейшие проблемы гравитации" -> 26

Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.

Иваненко Д. Новейшие проблемы гравитации — Москва, 1961. — 489 c.
Скачать (прямая ссылка): noveyshieproblemi1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 142 >> Следующая


X. Мёллер

§ 4. Точные «плоские» гравитационные волны

Единственные известные нам точные решения уравнений поля для пустого пространства — это «плоские» волны Бонди [17] и цилиндрические волны Эйнштейна и Розена [16]. Бонди берет интервал в форме

ds2 = gik dx{ dxk = dx2 + dy2 + dz2 - с2 dt2 + + 2а(ydy-zdz)du- [^(У2 - z2) + a2 uv'j du2. (51)

Здесь

х% = у, z, et], U = X^ct, и = х+ et (52)

и а = а (и) — произвольная, дважды дифференцируемая функция от и.

Чтобы gik при фиксированных у, z и t оставались регулярными для всех значений х, функция а при и = 0 должна обращаться в нуль, а при и—оо должна стремиться к нулю быстрее, чем 1 /и2, т. е.

— —> const При и—> О, " (53)

CL2U2 const При и—> ± оо.

Таким образом, среди многих различных волн типа Бонди нет монохроматических волн; более того, все они имеют характер волновых пакетов.

Путем элементарного расчета, обозначая

a = + (54)

получаем

g = det {gik} = -1, Ai^gn = {а, -сiy, uz, — (1 + a)}t (55)

= a*ah eW^Jljib2"]'

где a{ и Є(і) определены согласно (40) и (32). Таким образом, Ї4 не зависит от у и z, и поток энергии всюду параллелен оси х. Скорость распространения гравитац 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1

ной энергии имеет, согласно (22), контравариантные компоненты

= = 0,0} <56)

и, таким образом, представляет собой некоторый пространственный вектор, всюду имеюший направление положительной оси X. Далее,

YtK = gtK — ^*4 -

ёи

(l + ау1 ш/(1 + а)'1 - Ctz (1 + а)'1

= ( ay (1 + a)"1 l+aVO + a)"1 -a2t/z(l + а)"1 ) (57)

ч - az (1 + я)"1 - а2уг (1 + я)"1 1 + а2*2 (1 + а)"1;

и величина скорости распространения энергии

= |/"YiK WiaWt-C Уъх = у== • (58)

Скорость светового луча в направлении, определяемом единичным вектором е (см., например, [18])

!+Y1

где

?i4 С а —а у

Yi----1- -

V-



L« , -^L, (59)

\/1 +а' V\+a /і+aj V ;

представляют собой компоненты гравитационного вектор-

-потенциала. Единичный вектор в положительном направлении оси X имеет компоненты

= °> о} = {і/Г+7, о, о}. (60)

Отсюда

Yi*1 = Yi =

/л\ с l/"l+а с /С1Ч

ш(е) = , , —= - (61)

w 1+а /l+а V ' 80

X. Meллєр

Сравнение с (58) показывает, что гравитационная энергия распространяется всюду со скоростью света в положительном направлении оси х.

Из (57), или проще из (17), следует, что

у=(1 + а)'К (62)

Таким образом, для плотности энергии и потока энергии получаем

h= -Jpr = -L=-^-[аЩ,

Y У nVl+aduv J'

5 = ch б11. (63)

Знак h определяется частным дифференциалов: d[a2u]/du. В волновом пакете, для которого а равно нулю вне интервала

U1K и < и2, (64)

(d/du)[a2u] внутри интервала (64) должно быть знакопеременной функцией. Таким образом, при постоянных t, у и Z величина h меняет знак при возрастании х внутри волнового пакета. Полная же энергия внутри цилиндра с осью, направленной вдоль х, и с площадью основания dy dz всегда равна нулю, так как

х2 Х2 dydz ^ h\/ydx = —dydz ^ %\dx =

X1 X1

U2

= dydz^\^du = ^dydza2u\l*i = 0. (65)

U1

Этот результат, очевидно, имеет место для всех волн, которые удовлетворяют условию регулярности (53).

Рассмотрим, далее, элемент поверхности da, расположенный в фиксированном месте системы отсчета перпендикулярно к оси х; тогда полная энергия, протекающая через него за время прохождения волны, есть

H uI

^dtSyi doK = dydz-^- J ^ [a 2u]du =

11 U2

=-^dydza2K |? = 0. (66) 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1

Итак, полная гравитационная энергия, которую несут волны Бонди, равна нулю.

Если для интервала (51) рассчитать эйнштейновские величины ©4, то снова получаются значения (55). Таким образом, ©4 и здесь случайно оказываются одинаковыми.

§ 5. Цилиндрические гравитационные волны

Цилиндрические волны, которые впервые были выведены Эйнштейном и Розеном [16], исследовались затем Розеном [19], а также недавно Вебером и Уилером [20]. Используя цилиндрические координаты

Xi = {г, ф, г, Ct), (67)

можно привести интервал к следующему виду:

ds2 = gik dxl dxk = = е2 <*-*> (dr2 - с2 dt2) + г2е-^ dy2 + dz2, (68)

где % и г|> —функции rut. Уравнения поля для пустого пространства (Tt — 0) сводятся к следующим уравнениям для % и ?:

+ = (69а)

%'=r(\|>'а + Ф2). (696)

X = 2л|/гр. (б9в)

Здесь штрих и точка означают частное дифференцирование соответственно по г и ct.

Как уже было показано Розеном и Вебером и Уилером, величина ©J со значениями gik из (68) всюду равна нулю. Однако вследствие неоднозначности величины этот результат не имеет точного физического смысла. В противоположность ©J, как мы сейчас увидим, а вместе с ним и плотность энергии h не всюду обращается в нуль.

6 Заказ № 738 10O

X. Мёллер

Простой расчет с gik из (68) дает

g = -/^(X-Wj у = T2^x-W, Л = Ai= {О, О, О, -*2<Х-*>};

(70)

vkl .

A4

У ~8 (An ,т - Am >n) g^gin = = (71)

SJ = Xi1.,= {^-(х'-П о.о, -|[r(x'-tI,')]'} ;

?их'-1>')]'

h = —__

Yy

6t ~ Г(Х'-Г) S1 = — *
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 142 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed