Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
@ = Mty> (22)
при этом Voq — пространственный вектор, всюду параллельный потоку энергии.
Плотность энергии /г, однако, не является положительно определенной, и нужно примириться с тем, что энергия ограниченной части системы, как и ее вклад в общую энергию и общую массу, может быть также отрицательной. Если h отрицательно, то векторы Vog и (3 имеют противоположные направления. Если по аналогии с формулой (2) положить
%ї = VzrSiThi +*?), (23) 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
то величина й может быть истолкована как вклад гравитационного поля в плотность псевдотензора энергии и импульса. В отличие от 6ь не обращается в нуль в локальной инерциальной системе, так как она содержит, кроме первых производных, также и вторые производные величин gik. Однако (К — gft в локальной инерциальной системе равна нулю, так что уравнения (9) для такой системы снова переходят в уравнения (1) специальной теории относительности, в соответствии с принципом эквивалентности.
§ 2. Однозначность выражений для плотности энергии и потока энергии
В этом параграфе мы ответим на вопрос, в какой мере единственны выражения (19) и (20) для h и которые обладают требуемыми трансформационными свойствами. Поэтому мы попытаемся построить из gik и их производных самое общее выражение для которое, во-первых, являлось бы аффинной тензорной плотностью и, во-вторых, тождественно удовлетворяло бы уравнениям
Sifk = O. (24)
Очевидно, оба эти условия необходимы, чтобы определяемые, согласно (12), величины Pi для замкнутой системы были постоянными во времени и изменялись при линейных преобразованиях как ковариантные компоненты 4-век-тора. С другой стороны, они необходимы, чтобы Pi могли быть истолкованы как компоненты полного 4-импульса1).
1J В § 98 отличной книги Ландау и Лифшица [10] определена величина $Ji _л с двумя верхними индексами, которая тоже удовлетворяет условию (24) и, кроме того, симметрична по обоим индексам. Из этого следует, что для замкнутой системы следующие десять величин постоянны во времени
Л.-Л =T 5
<.-л =7 5 ( *? *л.-л. - ** їл.-л.)^™*3. что наводит на мысль интерпретировать эти величины как 4-импульс 10O
X. Мёллер
Xi , должны быть такими, чтобы их можно было пред-
Так как (24) обязано выполняться тождественно, то Xi , должны быт ставить в форме1)
— -Y
Ч >1
Si = Ih- , (25)
где
hi Ik /сье\
Ii = - Ii (26)
есть некоторая аффинная тензорная плотность 3-го ранга, антисимметричная по индексам киї.
Мы сделаем теперь обычное предположение, какое делается и при выводе уравнений поля (4), что в выражение ДЛЯ не входят производные выше второго порядка. Из этого следует, что XJ' зависят только от gik и их производных первого порядка. Для простоты мы предполагаем далее, что в не входят члены со степенями gih г выше второй. Простое рассуждение показывает тогда, что самое общее выражение для которое удовлетворяет этим условиям, имеет вид
х? = "iV-g gin §т (gkmgln - glmghn)+
+ аУ-g (Л? erST — 0IeSr) -Ь ЯГ1"" — »{в*™) (27)
и 4-момент импульса. Но теперь _л не являются аффинной тензорной плотностью, будучи умноженной еще на yng л Поэтому, например, Pj1 _л не преобразуется как 4-вектор при общих линейных
преобразованиях; это имеет место только при ортогональных преобразованиях Лоренца. Поэтому нам представляется невозможным истолковывать Pj1 _л как 4-импульс. Здесь, по-видимому, нельзя сохранить обычную связь между 4-импульсом и 4-скоростью Ui
Рк-Л =M0Ui
с инвариантной массой покоя, поскольку правая часть этого равенства представляет собой вектор при общих преобразованиях, в то время как левая — только при ортогональных преобразованиях. См. аналогичное рассмотрение в книге [10], § 98. 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
где g\k == dglk/dxl\ av а2, as — произвольные постоянные. Чтобы еще более уточнить это выражение, поставим условие, чтобы величина %% была векторной плотностью относительно группы преобразований (8). Из этого следует, что xf относительно той же группы преобразований должна быть антисимметричной тензорной плотностью 2-го ранга. Первый член в (27) пропорционален выражению (И), которое, как мы видели, как раз обладает требуемым трансформационным свойством. Напротив, ни второй, ни третий члены в (27), ни любая их линейная комбинация не обладают этим свойством, в чем легче всего убедиться, рассматривая произвольное бесконечно малое преобразование типа (8). Отсюда с необходимостью следует
а2 = а3 = 0. (28)
Из условия (6), что полная энергия
E= -сР4= - ^ %\dx1dx2dx3
покоящейся замкнутой системы должна иметь значение M0C21 следует значение для постоянной ах:
Исключая возможность очень многих более сложных выражений, которые зависели бы от производных третьего порядка и от более высоких степеней первых производных, мы приходим к выводу, что псевдотензоры (10) и (И), а также выражения (19) и (20) для плотности и потока энергии определены однозначно.
§ 3. Плоские гравитационные волны в приближении слабого поля
