Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для «замкнутых» систем, которые определяются тем, что существуют «квазигалилеевы» системы координат, в которых gik в пространственной бесконечности достаточно быстро сходятся к обычным постоянным значениям специальной теории относительности, величины
Pi=I dx^dx^dx* (5)
могут быть истолкованы как компоненты 4-импульса. Для возможности такой интерпретации существенно, что Pi вследствие уравнений (3) постоянны во времени и что они ведут себя при линейных преобразованиях координат как ковариантные компоненты вектора. Последнее вытекает из уравнений (3) и из того факта, что б? есть аффинный тензор.
Если в выражении (2) для исключить тензор материи Ti с помощью уравнений поля (4), то ©? оказывается функцией gifi и их производных первого и второго порядков. Можно показать [9], что ©і в этом случае будет суммой частных производных по пространственным координатам, так что величины Pi могут быть записаны как интегралы по некоторой лежащей в пространственной бесконечности двумерной поверхности. Величины Pi зависят, таким образом, только от значений функций gik и их первых производных в пространственной бесконечности. Но для покоящейся замкнутой системы gik на больших расстояниях представлены решением Шварцшильда для пустого пространства. Если при расчете Pi воспользоваться квазигали-леевой системой координат, то получаются значения
Pi = {0, 0, 0, — M0 с2}, (6)
где M0- полная ньютоновская масса системы, т. е. масса, которая по теории Ньютона должна порождать на больших расстояниях такой же гравитационный потенциал, какой следует из рассматриваемого решения Шварцшильда.
Этот весьма удовлетворительный результат теории Эйнштейна сохраняется, однако, только в специальных системах координат, а именно в квазигалилеевых системах, что кажется странным в общей теории относительности. Однако еще менее удовлетворительно то, что в этой
5* 10O
X. Мёллер
теории понятию количества энергии какой-либо части системы вообще нельзя придать достаточно определенный смысл. Это связано прежде всего с тем, что интеграл
^=Je44WA31 (7)
Q
взятый по конечной части Q пространства, неинвариантен по отношению к чисто пространственным преобразованиям типа
= /і %4 = (8)
Поэтому до сих пор предполагалось, что не имеет физического смысла говорить о локализации энергии гравитационного поля и что только полная энергия замкнутой системы может быть однозначно определена.
В недавней нашей работе [9] было, однако, показано, что можно заменить ©J другой псевдотензорной плотностью которая также удовлетворяет уравнению
SjfJk = O (9)
и компонента которой может быть непротиворечиво истолкована как плотность энергии. Как функция от gik и их производных имеет форму
Si = XU. (10)
где
TZT7
ykl _ -Zff. _ Cf. \ pkm дЫ /11\
Ai X Vom,m 5im>nJ 5 5 • \АА/
Вследствие свойства симметрии -Xlk уравнение (9)
является непосредственным следствием (10). Далее, легко видеть, что величины
P. = l-\%\dx4x4x* (12)
имеют те же самые трансформационные свойства и те же самые значения, что и определяемые, согласно (5), эйнштейновские интегралы (по крайней мере в тех случаях, когда последние вообще имеют определенный смысл). Но в 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
противоположность (7) выражение
Eq= - ^%\dx4x2dx9 (13)
Q
инвариантно относительно группы преобразований (8). Это позволяет интерпретировать Eq как энергию, содержащуюся в ограниченной области Q пространства. Кроме того, здесь уже нет необходимости при расчете полной энергии замкнутой системы использовать только квазигалилеевы координаты.
Инвариантность выражения (13) следует немедленно, если заметить, что при преобразованиях (8) ведет себя как векторная плотность. Из закона преобразования тензора gik прежде всего видно, что величины
Ai^gii (14)
ведут себя при преобразованиях (8) как компоненты кова-риантного вектора. [В действительности, конечно, — инвариант, в то время как А(t = 1, 2, 3) — компоненты 3-вектора.] Отсюда получается, что
= ЦАп>т-Ат,п)8^ gm (15)
ведет себя как антисимметричная тензорная плотность 2-го ранга, и
= (16)
есть, следовательно, векторная плотность.
Если обозначить через у детерминант пространственного метрического тензора, то
Тогда интеграл (13) будет
Eq= - ^%\dx4x4x*= ^hdV1 (18)
где плотность энергии 10O
X. Мёллер
есть, таким образом, скаляр относительно чисто пространственных преобразований. Далее, величины
с%к
S* = —-L (20)
Yy
являются контравариантными компонентами пространственного вектора ©, который должен быть интерпретирован как плотность потока энергии. В самом деле, уравнение (9) с i = 4 может быть записано в форме
divS +-Ji=^(VTA) = 0, (21)
где
есть пространственная ковариантная дивергенция потока энергии. Закон сохранения энергии (21) имеет здесь форму уравнения непрерывности, отдельные члены которого не зависят от выбора пространственных координат в рамках нашей системы отсчета. Выражения (19) и (20) допускают теперь однозначное определение плотности энергии и потока энергии внутри незамкнутой системы. Важным примером такой системы являются гравитационные волны, к которым мы вернемся в § 3 — 5. В подобных исследованиях уравнение (21) играет ту же роль, что и теорема Пойнтинга в электродинамике. По аналогии с потоком электромагнитной энергии определяется скорость Vog распространения энергии равенством
