Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос о том, теряет ли система движущихся масс, как, например, наша планетная система, свою энергию за счет излучения гравитационных волн, в последние годы многократно обсуждался; однако единого мнения в этом вопросе достигнуто не было. Существенной причиной этого, по всей вероятности, является тот факт, что до сих пор не 10O
X. Мёллер
существовало однозначного выражения для потока энергии. Хотя энергия, которая излучается вследствие испускания гравитационных волн, во всяком случае крайне мала, вопросу о том, существуют ли вообще несущие энергию гравитационные волны, следует придавать большое значение прежде всего в связи с проблемой квантования гравитационных полей.
Вскоре после создания теории относительности этот вопрос, казалось, был решен в положительном смысле, ибо Эйнштейн [11] смог показать, что уравнения поля в линейном приближении принимают форму обычных волновых уравнений. В этом приближении имеются, например, решения уравнений поля для пустого пространства, которые имеют форму плоских монохроматических волн, и для них 64 = ^-^64, вообще говоря, отличны от нуля. Так как, далее, запаздывающие решения для поля на больших расстояниях от материальных систем представляются приближенно плоской волной, то отсюда делали вывод, что такая система должна постоянно излучать энергию.
Но если вместо в? использовать правильное выражение (20) для потока энергии, то легко видеть, что при расчете излучения нельзя ограничиваться первым, «линейным» приближением. А именно, кроме члена, который, как и б?, квадратичен относительно производных первого приближения, формула (20) содержит также члены, линейные относительно производных второго приближения, и все эти члены, вообще говоря, одного порядка величины. Если же, согласно методу приближений, вычислить следующее приближение, то получается, как мы увидим, странный результат: вообще не существует регулярного всюду решения типа распространяющейся плоской монохроматической волны. Этот результат находится в согласии с недавно опубликованным исследованием Папапетру [12].
Во всех таких исследованиях удобно, хотя и не необходимо, пользоваться «гармоническими» координатами, для которых выполняется условие Фока—де-Дондера [13— 15]:
Bf-Ol 0"W^ggift. (30) 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
Для «слабых» полей можно написать разложение
-^-ЧіАк+ Qik+Qik+.-., (31)
8(i) = [l, 1, 1, -1]. (32)
Из равенств
= (33)
V —g
следует тогда разложение
(1) (2) (I)(I)
gi* = 8(i) 6і* - gift - g** + gj g* + ... , (34)
где
(1) (1) 0і = є(і) 4k) Qik>
(1) (1) (2) (2)
Q1k = Чі) Qiki Qlk = Є(г) 6(ft) Qik- (35)
Условие Фока — де-Дондера (ЗО) дает тогда для различных приближений уравнения
iiQf = 0, (36а)
(2) (1) (1)
Sift = AU Slft. (366)
Если подставить разложения (31) и (34) в уравнения поля (4), то последние распадаются на последовательность уравнений для различных приближений. Для пустого пространства в первом приближении при учете (36а) получается обычное волновое уравнение
? й = 8(,? ){ = 0, (37)
которое имеет в качестве решения плоскую волну, распространяющуюся со скоростью с в направлении х1. Надлежащим выбором координат всегда можно добиться [16]
(і) (і)
(см. также [11]), чтобы все компоненты д?, кроме д\ = (і)
= Qg, были равны нулю. 76
X. Мёллер
Мы полагаем
(і) (і)
02= 0Ї = ф(и).
где — произвольная функция переменной
<4
(38)
U = X1 — X4.
(39)
Так как
= о, 0,-1},
(40)
то отсюда следует
(41)
(здесь штрихом обозначена производная по и) и условие (366) будет иметь вид
Если ввести решение уравнений первого приближения (37) в уравнения поля второго приближения, то получим
Без ограничения общности мы можем теперь считать, (2)
что все компоненты д* с і или k, равными 2 и 3, обра-
(2)
щаются в нуль. Для других компонент д^ из (43) и (42) легко получаются следующие, не зависящие от у и z решения:
(42)
П Si = ~аіак bW (ф')2> Ф'(и)=Ж- <43)
с W с
J f(u)du-vf(u), ol = 2 \f{u)du + vf(u),
(44)
Здесь
V = Л'1 + Xі
(45)
и
(46) 1. Энергия незамкнутых систем в общей теории относительности! 1
Далее, для ©і и Ж? во втором приближении получаем
ui = ~2' (47)
«-^[»(л+СЙП-
Эти выражения зависят только от и. Однако весьма сомнительно, чтобы ограничение вторым приближением
(2)
имело какой-либо смысл, поскольку решения в (44) зависят также от переменной v и соответственно этому могут произвольно возрастать в противоположность предположению, сделанному в апроксимационной схеме. Так, например, если ф в (38) есть простая монохроматическая волна
Ф = A cos (у) , (48)
то
/ (") =4 $ [ф' (")]2 du = А [ и _.^sin I] (49)
и
Таким образом, во втором приближении gik содержат, согласно (44), кроме периодических членов, также и члены, квадратично возрастающие с х. В последующих приближениях появляются члены с еще более высокими степенями.
Подобный результат получается также и в том случае, если ф имеет форму конечного волнового пакета, типа ф = А • ехр [ — и2/2а2]. Поэтому обычно используемое «приближение слабого поля» непригодно для исследования таких протяженных решений уравнений поля, как гравитационные волны. Именно в большой пространственно-временной области решение точных нелинейных уравнений поля плохо апроксимируется решением линейных уравнений. При исследовании вопроса о существовании гравитационных волн, переносящих энергию, необходимо, очевидно, рассматривать точные решения уравнений поля. 10O
